2x+2dx例1.求积分I=(x-1)(x2 +1)A2x+2B,x+CB,x+C解.设(x-1)(x2 +1)2x2 +1(x2 +1)x-1右边通分，比较两端分子同次幂系数，则有A+B, =0解得:Ci -B, = 0A= 1, B, = -1,C( = -12A+B, +B, -C, = 0B, = -2,C2 = 0Ci - B, +C2 - B, = 2A-C -C, = 22xdxx+1dx所以I+1)+1=ln(1 + x2)+C=ln)-arctanx-1 +x?2
例1. 求积分 2 2 2 2 ( 1)( 1) x I dx x x + = − + 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 1 ( 1) x A B x C B x C x x x x x + + + = + + − + − + + 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 2 0 2 2 A B C B A B B C C B C B A C C + = − = + + − = − + − = − − = 1 1 2 2 1, 1, 1 2, 0 A B C B C = = − = − = − = 2 2 2 1 2 1 1 ( 1) dx x x I dx dx x x x + = − − − + + 2 2 1 1 ln | 1| ln(1 ) arctan 2 1 x x x C x = − − + − + + + 解. 设 右边通分, 比较两端分子同次幂系数, 则有 所以 解得:
练习.将下列真分式分解为部分分式：11x+3(1)(3)(2)12(1+ 2x)(1+ x2)x(x-1)2-5x+6解：（1）用拼凑法111x-(x-1)x(x-1)2x(x-1)2(x-1)2x(x-1)1x-(x-1)(x-1)2x(x-1)111(x-1)2x-1x10000x机动目录上页下页返回结束
练习. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)用赋值法BAx+3x+3x2_5x+6x-2x-3(x-2)(x-3)x+3A=(x-2)·原式x=2 =-5x=2x-3x+3= 6B=(x-3)·原式x=3x=3x-26.-5原式=故x-2x-3O10000x机动目录上页下页返回结束
(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)混合法A1Bx + C21+2x(1 +2x)(1 + x2)1+ x4A=(1+2x)·原式15x=2分别令x=0,1代入等式两端24B+C5514B+C1+52615412x-1原式25L 1+2x1+ x-O0o00X机动自录上页下页返回结束
(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1 + + − − 2 1 2 1 x x
dx例2.求(1 + 2x)(1 + x2)解：已知142x22(1 + 2x)(1 + x2)5L1+2x1-1+xx2dxd(1 + x2 rd(1 + 2x)：原式225J5:1+2x5.1+x+x2=arctan x + C5550D0O例1(3）目录上页下页返回结束
例2. 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + − + + 2 1 1 x + + = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln(1 ) 5 1 2 − + x + arctan x +C 5 1 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束