习题课(一)第五章一阶微分方程的解法及应用一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题三、 两类二阶微分方程的解法四、微分方程的应用oeooex机动目录上页下页返回结束
一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第五章 四、微分方程的应用 三、两类二阶微分方程的解法
一、一阶微分方程求解1．一阶标准类型方程求解四个标准类型：可分离变量方程，齐次方程线性方程，全微分方程关键：瓣别方程类型，掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法一一代换自变量代换因变量代换某组合式Oe000X机动目录上页下页返回结束
一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求下列方程的通解13+x(2) xy' = /x2 - y2 + Je= 0;1)2y16x3 + 3xy2(3) y'(4) y:3x2y+2y32x-y提示：(1)因e+×=ee*,故为分离变量方程:dy=e dxe12-1=ex+C通解e-3O0000?机动目录上页下页返回结束
例1. 求下列方程的通解 0; 1 (1) 3 2 + = y +x e y y 提示: (1) , 3 3 y x y x e = e e 因 + 故为分离变量方程: 通解 (2) ; 2 2 xy = x − y + y ; 2 1 (3) 2 x y y − = . 3 2 6 3 (4) 2 3 3 2 x y y x xy y + + = − y e y e x y x d d 3 2 − = − e e C y x = + − 3 3 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) xy' = /x2 - 2 + J方程两边同除以x即为齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程xu'= /1-u?x>0时, '= /1-()+xx()?+xu'=-V1-u?x<0时,y'=-xx1(3) y2x- ydx调换自变量与因变量的地位，化为dy用线性方程通解公式求解，Oe00X机动目录上页下页返回结束
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , xy = x − y + y 2 2 (2) x 0时， 2 xu = 1− u 2 xu = − 1− u ( ) x y x y y = − + 2 1 ( ) x y x y y = − − + 2 1 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 2 2 1 (3) x y y − = 2 , d d 2 x y y x − = − 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
6x3 + 3xy(4) y=3x2y + 2y3这是一个齐次方程．令u=方法1.x方法2化为微分形式(6x3 +3xy2)dx+(3x2 y+2y3)dy = 0apaQ6xy:axay故这是一个全微分方程O0000?机动目录上页下页返回结束
2 3 3 2 3 2 6 3 (4) x y y x xy y + + = − 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 (6 3 )d (3 2 )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = 故这是一个全微分方程 . x y 令 u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x Q xy y P = = 6