第五章第二节几种常见的一阶微分方程可分离变量方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程Oe00X机动目录上页下页返回结束
几种常见的一阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、可分离变量方程 第五章 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程
一、可分离变量方程dy形如： fi(x) f2(y)dxMi(x)M2(y)dx + Ni(x) N2(y)dy= 0转化解分离变量方程 g(y)dy= f(x)dx
转化 解分离变量方程 g(y)dy = f (x)dx 一、可分离变量方程 ( ) ( ) d d 1 2 f x f y x y = M1 (x) M (y) dx + N 1 (x) N (y)d y = 0 2 2 形如:
分离变量方程的解法g(y)dy= f(x)dx设y=β(x)是方程①的解，则有恒等式g(p(x)p'(x)dx = f(x)dxg(y)dy= [ f(x)dx两边积分，得F(x)G(y)则有G(y) = F(x)+C当G(y) 与F(x) 可微且 G(y)=g(y)O 时，上述过程可逆说明由②确定的隐函数y=dx)是①的解.同样,当F(x)=f(x)O 时，由②确定的隐函数 x= y(y) 也是①的解称②为方程①的隐式通解，或通积分Oeo0x机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
d=3x2的通解例1.求微分方程dxdy= 3x? dx说明：在求解过程中解：分离变量得y每一步不一定是同解变形，因此可能增、两边积分= [3x2dx减解或得In||= x3 +Ciy=±e+3+G即十In|y|= x3 +ln|CC1te3（C为任意常数）V（此式含分离变量时丢失的解=0）Oe00x机动自录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
xydx +(x2 +1)dy = 0例2.解初值问题y(0) = 1dyx解：分离变量得dxy1+ x1+ In| C两边积分得 ln=ln2Vx~+1即x2+1=C（C为任意常数）由初始条件得C=1，故所求特解为J/x2? +1 =1Oe000x机动目录上页下页返回结束
例2. 解初值问题 d ( 1) d 0 2 xy x + x + y = 解: 分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = − 两边积分得 即 y x +1 = C 2 由初始条件得 C = 1, 1 1 2 y x + = ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 y(0) =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束