第四章第三节定积分的应用一物理上变力沿直线所作的功一、液体的侧压力二、三、 引力问题四、 转动惯量(补充olelox机动目录上页下页返回结束
第三节 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用—物理上 第四章
一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=α移动到x=b，力的方向与运动方向平行，求变力所做的功在[a,b]上任取子区间[x,x+dx]，在其上所作的功元素为dW = F(x)dxb xx x+dxa因此变力F(x) 在区间[α,b]上所作的功为hW = F(x)dxaO0000?机动自录上页下页返回结束
一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 = b a W F(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.在一个带+g电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷α处移动到b处（α<b)求电场力所作的功解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为qF=k+q+120ar r+drkq则功的元素为dWdr2kq所求功为WakqK说明：电场在r=α处的电势为aoe000x机动目录上页下页返回结束
例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a r r + dr b r +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为 = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下
例2．在底面积为 S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从点α处移动到点b处(如图)，求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图．由波义耳一马略特定律知压强kk故作用在活塞上的p与体积V成反比，即pVxsF=p.S_k力为xSK功元素为dW = Fdx==dxb xo a xx+dxxbk-dx = k[lnx]= k lnW=所求功为aaxo0000x机动自录上页下页返回结束
S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气
例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m,底圆半径为3m,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？解：建立坐标系如图．在任一小区间0[x,x+dx] 上的一薄层水的重力为5mxg : p.π32 dx (KN)x +dx这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为dW=9元g pxdx3m故所求功为x25XW=(设水的密9元 g pxdx= 9元 g p2100度为p=112.5元g p (KJ )O10000?机动自录上页下页返回结束
例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x, x + dx] 上的一薄层水的重力为 g 3 dx 2 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g x dx 故所求功为 = 5 0 W 9 g x d x = 9 g 2 2 x =112.5 g ( KJ ) 设水的密 度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m