第四章习题课定积分的应用1.定积分的应用几何方面：面积、体积、弧长、表面积物理方面：质量、作功、侧压力、引力、转动惯量.2.基本方法：微元分析法微元形状：条、段、带、片、扇、环、壳等oeoo0x机动目录上页下页返回结束
习题课 1. 定积分的应用 几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 : 微元分析法 微元形状 : 条、段、带、片、扇、环、壳 等. 转动惯量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第四章
例1.求抛物线 y=1-x2在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小解：设抛物线上切点为M(x,1-x2)则该点处的切线方程为LY -(1- x2)=-2x(X -x)它与x，y轴的交点分别为X(+1,0), B(0, x2 +1)AC21所指面积1 (x2 +1)2+1r2-S(x) =324x2xO0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S(x)=(x2 +1)· (3x2 -1)令 S(x)=0,得[0,1] 上的唯一驻点 x=2x<, S(x)<0, S(x)>0x>V3因此x=是 S(x)在[0,1]上的唯一极小点3且为最小点：故所求切线为2/34YX +33Oe00x机动自录上页下页返回结束
且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 M B A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.设非负函数 f(x)在[0,1]上满足 x f(x)=f(x)+号x2,曲线=(x)与直线×=1及坐标轴所围图形面积为2，(1)求函数f(x);(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体体积最小？解：（1）当x≠0时，由方程得3x f(x)- f(x)?即Q?fu22x32故得f(x)+Cxax2O0000?机动自录上页下页返回结束
例2. 设非负函数 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
C3a'(又f(x)dx =2 =dx =-ax-10221232C= 4-af(x)(4-a)x+ax-2(2）旋转体体积1元a+a+16元3100元0a+1)=0,得a=-5x35元V"又0.15：α=-5为唯一极小点,因此α=-5时 V取最小值o0000机动目录上页下页返回结束
又 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . x o y 1 x o y 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束