第四节第四章反常积分积分限有限常义积分被积函数有界推广反常积分（广义积分）一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分oleoolox机动目录上页下页返回结束
二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第四章
一、无穷限的反常积分1引例.曲线y=和直线x=1 及x轴所围成的开口曲x边梯形的面积可记作+ dxx2其含义可理解为 dxbA= limlim.2b→+eb+8xlimbb-→>+o1eo0x机动自录上页下页返回结束
一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作 + = 1 2 d x x A 其含义可理解为 →+ = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim = − →+ = − b→+ b 1 lim 1 =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1. 设f(x)EC[a,+0),取b>α,若Alim f° f(x)dxb+a存在，则称此极限为,f(x）的无穷限反常积分，记作6f(x)dx = lim ( f(x)dxb-+oJa这时称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在就称反常积分f(x)dx发散.类似地,若 f(x)EC(-o0,bl，则定义F f(x)dx = lim (~ f(x)dxa-1eo00x机动自录上页下页返回结束
定义1. 设 f (x)C[a, + ), 取b a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 f(x) EC(-0,+0), 则定义[-~ f(x) dx = limf(x)dx+ limf(x)dxa-b→+8:（c为任意取定的常数）只要有一个极限不存在，就称f(x)dx 发散无穷限的反常积分也称为第一类反常积分说明：上述定义中若出现0一80,并非不定型它表明该反常积分发散。1eo00x机动目录上页下页返回结束
若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d →− f x x b b c lim ( )d →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现 − , 并非不定型 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散
若F(x)是f(x)的原函数，引入记号F(+oo)= lim F(x); F(-oo)= lim F(x)x→+8x>-8则有类似牛一莱公式的计算表达式：+8f(x)dx= F(x)= F(+oo)- F(a)0abhf(x)dx = F(x)= F(b)-F(-00)18+8f(x)dx = F(x)= F(+8)- F(-8)8oleoolox机动目录上页下页返回结束
引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx + − = F(x) = F(+) − F(−) 机动 目录 上页 下页 返回 结束