绝密★启用前 数学(试卷二)参考解答 填空题(本题共5小题每小题3分,满分15分.) (1)设函数f(x)={ arcsin 在x=0处连续,则a= (2)位于曲线y=xe(0≤x<+∞)下方,x轴上方的无界图形的面积是 (3)微分方程y+y2-0满足初始条件y1-1,1“的特解是x/+ 或y2=x+1 22 0-2-2 (5)矩阵22-2的非零特征值是4 二选择题(本题共5小题每小题3分,满分15分. (1)设函数f(a)可导,y=f(x2)当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0.1时,相应的函 数增量△y的线性主部为0.1,则f'(1)= (A)-1 (B)0.1. (C)1 (D)0.5.【D】 (2)设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是 (A)f() (B)L()dt (C)LI[f(r-f(-t)]dr (D)[tf()+f(-t)]d (3)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y2+py+qy=c"满足初始条件y()=y(0)=0 的特解,则当x→0时,函数(+x的极限 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于2.(D)等于3.【C 4)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则 (A)当limf(x)=0时,必有limf"(x)=0. (B)当limf'(x)存在时,必有limf'(x)=0. (C)当limf(x)=0时,必有imf'(x)=0. (D)当limf'(x)存在时,必有limf'(x)=0
(5)设向量组a1a2,a3线性无关,向量B1可由a1a2,a3线性表示,而向量B2不能由a1,ax2, a3线性表示,则对于任意常数k,必有 (A)a1,a2,a3,4B1+B2线性无关 (B)ar1,x2,a3,4B1+B2线性相关 (C)a1,a2,a3B1+42线性无关 (D)a1,a2,a3B1+42线性相关 三.(本题满分6分) 已知曲线的极坐标方程是r=1-co6,求该曲线上对应于=五处的切线与法线的直角 坐标方程 解此曲线的参数方程为 (I-cos0) y=(l- cos0 )sing, sing- singcos0 由6=,得到切点的坐标(2-31 d d axle.t dx sing+ 2cosesine less 于是所求切线方程为 3.3 +=x 法线方程为 + 四(本题满分7分) 2x+x2,-1≤x<0 设f(x) 求函数F(x)=「/D的 (e+1)2 0≤x≤l 解当 <0时
F(x)=「(2+t2)d=(2+t2) 当0≤x≤1时, F(x)=2)t=了)d+x)d t (e2+1)2 de e'(e+1) e+1 1 所以 五.(本题满分7分) 已知函数fx)在(0,+)内可导,f(x)>0,imf(x)=1,且满足 f(x+hx) lim f(x) 求f(x) f(x+hx) Iny =IIn fa+ hs2 f(x) 因为1my=四=mx知2 lim zl Inf(x hx)-lnf(a21 h
=x[lnf(x)]’, lim/l+ he)t ln=) 由已知条件得c 因此 x[lny(x)]’=1 ln(x)]=1 解之得 f(x)=Ce 由limf(x)=1,得C=1 故 fx) 六(本题满分7分) 求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x= 1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小 解原方程可化为-2y=-1 则y=[-edx+C x2(-+C) 由曲线y=x+Cx2与直线x=1,x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转 体体积为 v(C)=w(x+Cx2)'dx C+ 又P(C)=2m>0,故C=-15为性一极小值点也是最小值点,于是得
75 七(本题满分7分 某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二 次抛物线与线段AB所围成当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与 闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)? 解1如图建立坐标系,则抛物线的方程为 闸门矩形部分承受的水压力 P =2pg(h+1)y- pgh, 其中p为水的密度,g为重力加速度 闸门下部承受的水压力 2pgl÷(h+1) lpg(h 由题意知 PI 即 4(-h+ 解之得h=2,h=-3(舍去),故h=2 即闸门矩形部分的高应为2m 解2如图建立坐标系,则抛物线方程为 闸门矩形部分承受的水压力为