绝密★启用前 数学(四)参考解答 填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设常数a≠,则lmln[n-2na+1'= (2)已知f(x)的一个原函数为m3x,则|xf(x)dx=2lnx-ln2x+C (3)设矩阵A= B=A2-3A+2E,则B (4)设向量组a1=(a,0,c),a2=(b,c,0),ay=(0,a,b)线性无关,则a,b,c必满足关系 式abe≠0 (5)设随机变量X和Y的联合概率分布为 概 则X和Y的相关系数p=_0 选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数f(x)在闭区间[a,6]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则 (A)当f(a)f(b)<0时,存在∈(a,b),使f()=0 (B)对任何∈(a,b),有im[f(x)-f()]=0 (C)当f(a)=f(b)时,存在∈(a,b),使f'()=0 (D)存在E∈(a,b),使fb)-f(a)=f'()(b-a) (2)设函数f(x)连续,则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 (A)LIU(r)+f(-t)]de (B)[tf(t)-f(-)]d (C)Lf(2)dr. (D)L(dr 【A (3)设AB为n阶矩阵A,B·分别为A,B对应的伴随矩阵.分块矩阵C=AO1,则C 的伴随矩阵C’= JAJA (B)(88 o 0 BB A
(D) IBA BA (4)设x和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为f(x)和 f(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则 (A)f(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 (B)F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 (C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 (D)f1(x)(x)必为某一随机变量的概率密度, (5)设随机变量x1,X2,…,X。相互独立,S,=X+X2+…+X,则根据列维-林德伯格(Levy Lindberg)中心极限定理,当n充分大时,S近似服从正态分布,只要x1,x2,…,X (A)有相同的数学期望 (B)有相同的方差 (C)服从同一指数分布 (D)服从同一离散型分布 三.(本题满分5分) 求极限 CU arctan(I+1)dr]du 解法1 arctan(I+r)dr du m t(I-cost arctan(I +t)dr - lim -2xarctan(I+r) 2 lim arctan(1 +x)lim
解法2 ctan(1+ t)d (1+r)de du (I +tde 4 四.(本题满分7分) 设函数a=f(x,y,z)有连续偏导数,且z=(x,y)由方程xe-ye'=ze'所确定、求da 解法1设F(x,y,2)=xe'-ye-ze,则 F,=(x+1)e F4=-(z+1 x F→FF f,-f 所以 a 解法2在xe-ye=e两边微分,得
edx xe'dx -edy -yedy e'dz ze'dz, 故 =+3(+ +y)edy 由l=f(x,y,z),得 f dx +f, dy+fr da. 故 x (本题满分6分) 设,)=面,求∫八x) 令u=sin2x,则有 sInx vu x= arcsin√a Ax)=arcsin/x 于是 f(x) arcsine In 2 larson√xd -2√- r arcsin /x+2|1-x 六.(本题满分7分) 设闭区域D:x2+y2≤y,x≥0.f(x,y)为D上的连续函数,且 f(x,y)=√1-x2-y2 u, u)dudo 求f(x,y) 36
解设 (a,n)dud=A,在已知等式两边求区域D上 的二重积分,有 x,y)dy=√ dxd D 从而 /1-,2 所以 I[(1-cos'0)de 3(2-3 故 6(2-3 于是 七.(本题满分7分) 设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数:Q=Q(p),其需求弹性7-192-p2>0 (1)设R为总收益函数,证明=Q(1-n) (2)求p=6时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义 解(1)R(p)=pQ(p) 上式两边对p求导数,得 十 de =0(1 +e de p dR