例1求过三点42，-1,4)，B(-1,3,-2)和C(0,2,3) 的平面方程. A。 C。 解 AB={-3,4,-6} B。 AC={-2,3,-1} 取i=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)-(?-4)=0, 化简得14x+9y-z-15=0
解 A B {3, 4, 6} A C {2, 3, 1} 取 n A B A C {1 4, 9, 1} , 所求平面方程为 1 4( x 2) 9( y 1) (z 4) 0, 化简得 1 4 x 9 y z 1 5 0. 1 A. B. C. 1 (2, 1,4), ( 1,3, 2) (0,2,3) . 例 求过三点A B C 和 的平面方程
说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 -1 一般情况：过三点M(x,yk,)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y1 -41 X2-七1y2-12-z1 =0 X3-x1y3-》13-1
此平面的三点式方程也可写成 3 4 6 0 2 3 1 x y z 2 1 4 一般情况 : 过三点 ( , , ) ( 1 , 2 , 3 ) M x y z k k k k k 的平面方程为 说明:
三、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-o)+C(z-zo)=0 宁1+8+G4,+,+CaD Ax+By+Cz+D=0平面的一般方程 法向量i={A,B,C}
由平面的点法式方程 ( ) ( ) ( ) 0 A x x0 B y y 0 C z z 0 ( ) 0 A x B y C z A x0 B y 0 C z 0 D A x B y C z D 0 平面的一般方程 法向量 n { A, B,C } . 三、平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况： (1)D=0,平面通过坐标原点； a4BT面r 类似地可讨论B=0,C=0的情形 (3)A=B=0,平面平行于0y坐标面； 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形
平面一般方程的几种特殊情况： (1) D 0, 平面通过坐标原点； (2) A 0, 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A B 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形. 类似地可讨论 B=0,C=0 的情形
例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0 设所求平面方程为 B y C z 0 代入已知点 ( 4 , 3 , 1 ) 得 化简,得所求平面方程