例1411计算/=∫eds,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界。 解 ds+ +e 线段OA的方程为y=x,0≤x≤a/2,所以 a/2 x√2d 圆弧AB的参数方程为x=acos,y=asin,0≤0≤x/4,所以 ds=lead==ae AB 线段OB的方程为y=0,0≤x≤a,所以 因此 I=2(e-1)+ae B 图141.2
解 p 2 2 2 2 2 2 e de de d x y x y x y OA AB OB I sss +++ =++ ∫∫∫ 。 线段OA 的方程为 0, ≤≤= axxy 2 ，所以 2 2 2 2 0 e d e 2d e 1 a x y x a OA s x + = = − ∫ ∫ 。 圆弧 pAB 的参数方程为xa ya = cos , sin , 0 θ = ≤≤ θ θ π 4，所以 p 2 2 π 4 0 π e d ed e 4 x y a a AB s aa θ + = = ∫ ∫ 。 线段OB 的方程为 y xa = 0, 0 ≤ ≤ ，所以 2 2 0 e d ed e 1 a x y x a OB s x + = = − ∫ ∫ 。 因此 a a I a e 4 )1(e2 π +−= 。 A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + = ∫ ，其中L为圆周xya 22 2 + = ，直线 y = x 及 x轴在第一象限所围图形的边界
例14.1.2已知一条非均匀金属线L的方程为 x= e cos t,y=e'sint,z=e',0≤t≤1, 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比,而且在点 (1,0,1)处的线密度为1。求它的质量M
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线L的方程为 = = ztytx t ≤≤= 10,e,sine,coset t t ， 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M
例14.1.2已知一条非均匀金属线L的方程为 x= e cos t,y=e'sint,z=e',0≤t≤1, 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比,而且在点 (1,0,1)处的线密度为1。求它的质量M 解由题意,L在(x,y,z)点的线密度为 k k P(x,y,=)=- x-+ 2 其中k为常数。由p(1.1)=1得k=2,所以p(x,y,)=e2。因此 M=p(x, y, -ds=fe2v3e'dt=v3e'dt=v301-e')
解 由题意，L在 zyx ),,( 点的线密度为 222 2t k zyx k zyx e2 ),,( = ++ ρ = ， 其中k 为常数。由ρ (,,) 101 1 = 得k = 2 ，所以 t zyx 2 e),,( − ρ = 。因此 1 1 2 1 0 0 ( , , )d e 3e d 3 e d 3(1 e ) t t t L M xyz s t t ρ − −− = = = =− ∫∫ ∫ 。 例 14.1.2 已知一条非均匀金属线L的方程为 = = ztytx t ≤≤= 10,e,sine,coset t t ， 它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M
例14.1.3计算=-(x2+y2+2As,其中L为球面x2+y2+=2=a2 和平面x+y+z=0的交线
例 14.1.3 计算 2 2 ( 2 )d L I x = ++ y z s ∫ ，其中L为球面xyza 2 22 2 ++= 和平面xyz ++= 0的交线
例14.1.3计算=-(x2+y2+2As,其中L为球面x2+y2+=2=a2 L 和平面x+y+z=0的交线 解由对称性得 ds=l(x2+y2+2)ds o 由于在L上成立x2+y2+2=a2,且L是一个半径为a的圆周,因此 (x+y2+2)ds=ads=a ds=2Ta 同理 yas (x+y+z)ds=ods=0 于是 (+y+2z)ds=xslyds+2 zds=Ta L L
解 由对称性得 2 2 2 2 22 1 d d d ( )d 3 LLL L xs ys zs x y z s = = = ++ ∫∫∫ ∫ 。 由于在L上成立xyza 2 22 2 ++= ，且L是一个半径为a的圆周，因此 2 22 2 2 3 ( )d d d 2π L L L x y z s as a s a ++ = = = ∫ ∫∫ 。 同理 1 1 d d d ( )d 0d 0 3 3 LLL L L xs ys zs x y z s s = = = ++ = = ∫∫∫ ∫ ∫ 。 于是 2 2 2 2 4 3 ( 2 )d d 2 d π 3 L L L L I = ++ = + + = x y z s xs y s zs a ∫ ∫∫ ∫ 。 例 14.1.3 计算 2 2 ( 2 )d L I x = ++ y z s ∫ ，其中L为球面xyza 2 22 2 ++= 和平面xyz ++= 0的交线