曲面的面积 设曲面∑的方程为 x=x(u,v),y=y(u, v), ===(u,v),( u,vED r(u,v)=x(u, v)i+y(u,v)j+E(u, vk, ( u,VED 这里D为w平面上具有光滑(或分段光滑)边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的(这样的曲面称为简单曲面),且x,y,z对和v 有连续偏导数,相应的 Jacobi矩阵 x a 0000aa u av A 满秩,则曲面∑是光滑的
曲面的面积 设曲面∑的方程为 = = = vuzzvuyyvuxx ),(),,(),,( ， (,) u v ∈ D ， 即 r = + + vuzvuyvuxvu ),(),(),(),( kji ， (,) u v ∈ D ， 这里D为uv平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的（这样的曲面称为简单曲面），且 x, , y z 对u v 和 有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = vz uz vy uy vx ux J 满秩，则曲面∑是光滑的
先看一下这个假设的几何意义:对曲面上任一点 Q(o, yo, 20)(xo=xuo,vo), yo=y(uo, vo), o=z(uo, vo) 曲线r(uy10)=x(u,n)+y1ln”n)+2(,n)就是曲面上过Q点的v-曲线; 曲线r(un,1)=x(un+y(ln,)+(un)k就是曲面上过Q点的y-曲线 这两条曲线在Q点的切向量分别为 r(u.y vo)i+o(uo,vo)j+o(uo, vo) k az r (uo,vo)=(uo, vo )+(uo, vo)j+(uo, vo )k
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点 ),,( 000 zyxQ （ 0 00 x xu v = ( , ), 0 00 0 00 y = yu v z zu v ( , ), ( , ) = ）， 曲线 r ),(),( i 0 0 = vuxvu ),( j 0 + vuy + vuz 0 ),( k 就是曲面上过 Q点的 u − 曲线； 曲线 r ),(),( i 0 0 = vuxvu ),( j 0 + vuy + 0 vuz ),( k 就是曲面上过 Q点的 v −曲线。 这两条曲线在 Q点的切向量分别为 r 00 00 i 00 j vu 00 ),(),(),(),( k u z vu u y vu u x vu u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ， r 00 00 i 00 j vu 00 ),(),(),(),( k v z vu v y vu v x vu v ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =