第十二章多元函数的微分学 §1偏导数与全微分 偏导数 定义12.1.1设D∈R2为开集, z=f(x,y)2(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(x0,y)∈D为一定点。如果存在极限 lim /(xo+ Ax, yo)-1(xo Jo) 那么就称函数∫在点(x0,y)关于x可偏导,并称此极限为∫在点 (x,y)关于x的偏导数,记为 az ax(2,))。 (xn,y)(或∫(x0,y0),9(
偏导数 定义 12.1.1 设 D⊂ 2 R 为开集， z f xy xy = ( , ), ( , )∈ D 是定义在 D 上的二元函数， ),( 00 yx ∈D 为一定点。如果存在极限 x yxfyxxf x Δ −Δ+ →Δ ),(),( lim 0 0 00 0 ， 那么就称函数 f 在点 ),( 00 yx 关于 x 可偏导，并称此极限为 f 在点 ),( 00 yx 关于x的偏导数，记为 ),( 00 yx x z ∂ ∂ （或 ),( 00 yxf x ， ),( 00 yx x f ∂ ∂ ）。 第十二章 多元函数的微分学 §1 偏导数与全微分
如果函数f在D中每一点都关于x可偏导,则D中每一点(x,y)与 其相应的∫关于x的偏导数f(x,y)构成了一种对应关系即二元函数关 系,它称为f关于x的偏导函数(也称为偏导数),记为 (或∫(x,y), 类似地可定义∫在点(x,x)关于y的偏导数≤(xny)(或 f,(x,yb(x,)及关于y的偏导函数(或/(xy,可)。 若∫在点(x,y)关于x和y均可偏导,就简称∫在点(x0,υ)可偏 导
如果函数 f 在 D 中每一点都关于x可偏导，则 D 中每一点 yx ),( 与 其相应的 f 关于x的偏导数 yxf ),( x 构成了一种对应关系即二元函数关 系，它称为 f 关于 x的偏导函数（也称为偏导数），记为 x z ∂ ∂ （或 yxf ),( x ， x f ∂ ∂ ）。 类似地可定义 f 在 点 ),( 00 yx 关 于 y 的偏导数 ),( 00 yx y z ∂ ∂ （ 或 ),( 00 yxf y ， ),( 00 yx yf ∂∂ ）及关于 y 的偏导函数 yz∂∂ （或 yxf ),( y ， yf ∂∂ ）。 若 f 在点 ),( 00 yx 关于 x 和 y 均可偏导，就简称 f 在点 ),( 00 yx 可偏 导
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 f(x,y),(x,y)∈D, 它的图像是一张曲面。平面y=y0与这张曲面的交线l(见图121.1) 方程为 yo =f(x,y0) yo 图121.1
现在来看偏导数的几何意义。考虑函数 z f xy xy = ( , ), ( , ) ∈ D， 它的图像是一张曲面。平面 0 = yy 与这张曲面的交线 l （见图 12.1.1 ） 方程为 l : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ).,( , , 0 0 yxfz yy xx X Y Z 0 x z f xy = (, ) T O y 0 图12.1.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式,该曲线在点(x02y)处的切向量 T的方向余弦满足 COS(T,x): cos(T, y): cos(T, 2)=1: 0: f(o, yo) 也就是说,f(x0,y)是平面y=y上的曲线l在点(xny)处的切线关 于x轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 yo 图121.1
利用曲线的切向量的方向余弦表示式，该曲线在点 ),( 00 yx 处的切向 量 T 的方向余弦满足 0 0 cos( , ) : cos( , ) : cos( , ) 1: 0 : ( , ) x TTT x y z fxy = ， 也就是说， ),( 00 yxf x 是平面 0 = yy 上的曲线 l 在点 ),( 00 yx 处的切线关 于 x 轴的斜率。这是一元情况的直接推广。 X Y Z 0 x z f xy = (, ) T O y 0 图12.1.1
从偏导数的定义可以看出,对某个变量求偏导数,只要在求导时 将其他变量看成常数就可以了,这种思想可以推广到一般的n元函数 上去:设x9=(x,x2…,x2)为开集DcR中一定点。定义n元函数 l=f(x1,x2…,xn),(x,x2,…x)∈D 在x0点关于x,(i=12,…n)的偏导数为 ax f(x1,…x12x+△x12x1,…,xn)-f 00 Im Ax.→0 (如果等式右面的极限存在的话)。 如果函数∫在开集(或区域)D上每一点关于每个x都可偏导 (i=12,…,n),则称f在D上可偏导
从偏导数的定义可以看出，对某个变量求偏导数，只要在求导 时 将其他变量看成常数就可以了，这种思想可以推广到一般的 n元函 数 上去：设 ),,,( 0 0 2 0 1 0 n x = " xxx 为开集 n D ⊂ R 中一定点。定义 n元函数 ),,,( 21 n = " xxxfu ， 1 2 (, , , ) n xx x " ∈ D 在 0 x 点关于 i x （ = ",,2,1 ni ）的偏导数为 )( 0 x i x f ∂ ∂ = ),,,( 0 0 2 0 1 n i xxx x f " ∂ ∂ = i iiii n n x x xxxfxxxxxxf i Δ − Δ+ + − →Δ ),,,(),,,,,,( lim 0 0 2 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 " " " （如果等式右面的极限存在的话） 。 如果函数 f 在开集（或区域） D 上每一点关于每个 i x 都可偏导 （ = ",,2,1 ni ），则称 f 在 D 上可偏导