现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(),y=y(1)2z=x(1),a≤t≤B 其中x(,y(1,-()具有连续导数,且x(,y(),z()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 x2(t)+y2()+z"(t)d 定理14.1.1设L为光滑曲线,函数f(x,y,x)在L上连续。则f(xy,) 在L上的第一类曲线积分存在,且 ∫f(xy,A=m(x(00)x=(+y2(0+=(0
定理 14.1.1 设L为光滑曲线，函数 f xyz (,,)在L上连续。则 f xyz (,,) 在L上的第一类曲线积分存在，且 2 22 ( , , )d ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d L f xyz s f xt yt zt x t y t z t t β α = + ′′′ + ∫ ∫ 。 现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x xt y yt z zt t = ( ), ( ), ( ), = = α ≤ ≤ β ， 其中 tztytx )(),(),( 具有连续导数，且 ′ ′ ′ tztytx )(),(),( 不同时为零（即L为光 滑曲线），那么L是可求长的，且曲线的弧长为 2 22 s xt( ) ( ) ( )d y t ztt β α = ++ ′′′ ∫
证记 f(x(1),y(t)2(1)yx2(t)+y2(1)+z(t)d 作区间[a,B的划分P:a=tn<<12<…<n=B,在L上顺次插入分 点P(x(),y(1)=(1)(i=1,2…,n-1),并设P=(x(a)y(al),a) Pn=(x(B),y(B,=(B)。记小弧段PP的长度为△s,那么它的弧长为 △=√x()+y(0+=(0ud。令 =∑f(x(5,y(5),(5)△s 其中(x(5),y(),x(5)为弧段P1P上任意一点。那么 ∑f(x)y(5)=(5)△-f(x)(:0)x()+y(0+=(0ud ∑∫[(x(5)(5)5)-f(x(y.x)yx2(+y(+=(d
证 记 2 22 I f ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d x t y t zt x t y t ztt β α = + ′′′ + ∫ 。 作区间[, ] α β 的划分 012 P ttt :α = <<<" < tn = β ，在 L 上顺次插入分 点 = nitztytxP − )1,,2,1())(),(),(( iiii " ，并设 ))(),(),(( 0 = α α zyxP α ， β β zyxP β ))(),(),(( n = 。记小弧段 −1PP ii 的长度为 i Δs ，那么它的弧长为 2 22 1 ( ) ( ) ( )d ti i ti s xt y t ztt − Δ= + + ′′′ ∫ 。令 ∑ = = Δ n i iiii szyxf 1 σ ξξξ ))(),(),(( ， 其中 ))(),(),(( iii ξ ξ zyx ξ 为弧段 −1PP ii 上任意一点。那么 [ ] 2 22 1 2 22 1 1 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d n i i ii i n ti i ii ti i I f x y z s f xt yt zt x t y t z t t f x y z f xt yt zt x t y t z t t β α σ ξξξ ξξξ = = − − = Δ − ′′′ + + = −+ ′′′ + ∑ ∫ ∑∫
设L的弧长为s。由于f(x,y,)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数g,当x=max(△s,)充分小时,f(x,y,2)在每个 弧段尸P上的振幅均小于于是成立 1∑1(x(4)y(.(5)-fx(y(2()yx2(o)+y2()+=2(0 sJ。x2(t)+y2()+="()dt=s=6 S 从而得到 f(r, y, z)ds= limo →
设L的弧长为s 。由于 f xyz (,,)在紧集L上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数ε ，当λ = max ( i Δs )充分小时， zyxf ),,( 在每个 弧段 −1PP ii 上的振幅均小于 s ε 。于是成立 2 22 1 1 2 22 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n ti i ii ti i I f x y z f xt yt zt x t y t z t t xt yt ztt s s s β α σ ξ ξ ξ ε ε ε = − − ≤ − ′′′ + + < + + == ′′′ ∑∫ ∫ 。 从而得到 ( , , )d L f xyz s = ∫ limλ σ → = 0 I
设L的弧长为s。由于f(x,y)在紧集L上连续,因此一致连续。 所以对任意给定的正数,当x=max(△s)充分小时,f(x,y,=)在每个 孤段PP上的振幅均小于。于是成立 ∑∫”(x5y)5)-f(x(y.)x(0)+y2()+:( 8 rB (1)+y2(t)+z(tdt 从而得到 f(x, y, =)ds= limo=/ 1→ 特别地,如果平面光滑曲线L的方程为 (x),a≤x≤b, f(x,yds= f(x, y(x))v1+y'2(x)dx
特别地，如果平面光滑曲线 L的方程为 y yx a x b = ( ), ≤ ≤ ， 则 2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d b a L f xy s f xyx y x x = + ′ ∫ ∫ 。 设 L的弧长为 s 。由于 f xyz (,,)在紧集 L上连续，因此一致连续。 所以对任意给定的正数 ε ，当 λ = max ( i Δ s )充分小时， zyxf ),,( 在每个 弧段 −1PP ii 上的振幅均小于 s ε 。于是成立 2 22 1 1 2 22 ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d n t i i ii t i i I f x y z f xt yt zt x t y t z t t xt yt ztt s s s β α σ ξ ξ ξ ε ε ε = − − ≤ − ′′′ + + < + + == ′′′ ∑ ∫ ∫ 。 从而得到 ( , , )d L f xyz s = ∫ limλ σ → = 0 I
例1411计算/=∫eds,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x 及x轴在第一象限所围图形的边界。 B 图141.2
A O B x y a 图14.1.2 例 14.1.1 计算 2 2 e d x y L I s + = ∫ ，其中L为圆周xya 22 2 + = ，直线 y = x 及 x轴在第一象限所围图形的边界