2.零点的判定 如果f(z)在z解析，那末z为f(z)的m级 零点的充要条件是 fm(zo)=0,(n=0,1,2,…m-1);fm(zo)≠0. 证（必要性） 如果o为f(z)的m级零点 由定义：f(z)=(?-z)"p(z) 设p(z)在z的泰勒展开式为： p(z)=C+C(?-z)+C2(亿-z)+…
2.零点的判定 零点的充要条件是 证 (必要性) 由定义: ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 设 0 (z)在z 的泰勒展开式为: ( ) ( ) ( ) , 2 z = c0 + c1 z − z0 + c2 z − z0 + 0 如果 f (z) 在 z 解析, 那末 z0 为 f (z) 的 m 级 如果 z0 为 f (z) 的 m 级零点 ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n ( ) 0. 0 ( ) f z m
其中C=p()≠0， 从而f(z)在z的泰勒展开式为 f(z)=C(?-)"+C(z-z0)m4c2(z-z0)m+2+… 展开式的前m项系数都为零，由泰勒级数的系数 公式知：fm(z)=0,(n=0,1,2,…m-1); 并且 fm()=G,≠0. m! 充分性证明略
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) + = − + − m m f z c z z c z z + c2 (z − z0 ) m+2 + 其中 ( ) 0, c0 = z0 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数 公式知: ( ) 0, ( 0,1,2, 1); 0 ( ) f z = n = m − n 并且 0. ! ( ) 0 0 ( ) = c m f z m 充分性证明略
例7求以下函数的零点及级数： (1)f(z)=z3-1,(2)f(z)=sinz. 解(1)由于f'()=3z2=3≠0， 知z=1是f(z)的一级零点，尚有另2个一级零点. (2)f'(z)lz=k元=C0s(kπ)≠0 知z=km是f(?)的一级零点. 课堂练习求f(z)=z5(z2+1)2的零点及级数. 答案乙=0是五级零点，z=±i是二级零点
(1)由于 1 2 (1) 3 = = z f z 知 z = 1 是 f (z) 的一级零点， 课堂练习 z = 0是五级零点, z = i 是二级零点. 知 z = kπ 是 f (z) 的一级零点. 解 (2) 答案 例7 求以下函数的零点及级数: ( ) 1, 3 (1) f z = z − (2) f (z) = sin z. = 3 0, 5 2 2 求 f (z) = z (z + 1) 的零点及级数 . f (z)| z=k = cos(k) 0 尚有另2个一级零点
3.零点与极点的关系 定理 如果z是f(z)的m级极点，那末z就是 1 的m级零点.反过来也成立. 证 如果z是f(?)的m级极点，则有 f3)=e-2)产8) (g(z)≠0) 当2≠z时， 'fag-a=e-rma 函数(z)在z解析且h(z)≠0
3.零点与极点的关系 定理 如果 0 z 是 f (z) 的 m 级极点, 那末 0 z 就是 ( ) 1 f z 的 m 级零点. 反过来也成立. 证 如果 0 z 是 f (z) 的 m 级极点, 则有 ( ) ( ) 1 ( ) 0 g z z z f z m − = ( ( ) 0) g z0 当 时 , 0 z z ( ) 1 ( ) ( ) 1 0 g z z z f z m = − ( ) ( ) 0 z z h z m = − ( ) 0 h z ( ) 0. 函数 在 z0 解析且h z0
由于im z→z0f(z) =0,只要令 0, 那末z就是 的m级零点. 反之如果x。 是a 的m级零点， 那末有=g-产o8以 解析且w(zo)≠0 当z*x时，e=e-2e y()= o(z) 所以z是f(z)的m级极点
由于 0, ( ) 1 lim 0 = z→z f z 只要令 0, ( ) 1 0 = f z 那末 0 z ( ) 1 f z 就是 的 m 级零点. 反之如果 0 z ( ) 1 f z 是 的 m 级零点, 那末 ( ) ( ), ( ) 1 0 z z z f z m = − 当 时, 0 z z ( ), ( ) 1 ( ) 0 z z z f z m − = ( ) 1 ( ) z z = 解析且 ( ) 0 z0 所以 0 z 是 f (z) 的 m 级极点