2)极点的判定方法 ()由定义判别 f(z)的洛朗展开式中含有z一乙的负幂项为有限项。 (2)由定义的等价形式判别 8(3) 在点的某去心邻域内(？)= (-0)" 其中g()在的邻域内解析，且g(z)≠0， (3)利用极限Iimf(z)=∞判断. 7→Z0
2)极点的判定方法 f (z) 的洛朗展开式中含有 z − z0 的负幂项为有限项. 在点 z0 的某去心邻域内 m z z g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 = → lim ( ) 0 f z z z 判断
例6求函数f(z)= (-5)sinz 的奇点，并确 (z-1)2z2(z+1)3 定类型. 解z=0,z=1,z=-1是奇点. 因为na-e-8]-e z-5 所以z=0是单极点；z=1是二级极点； z=-1是三级极点
例6 求函数 的奇点，并确 定类型. 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 5)sin ( ) − + − = z z z z z f z 解 z = 0,z = 1,z = −1 是奇点. − + − = z z z z z z f z sin ( 1) ( 1) 1 5 ( ) 因为 2 3 ( ), 1 g z z = 所以 z = 0 是单极点； z = 1 是二级极点; z = −1 是三级极点
3.本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个？一的负幂项， 那末孤立奇点？，称为f(z)的本性奇点， 例如，e=1+z+22+…+ 2 n. 含有无穷多个z的负幂项(0<<∞) 所以z=0为本性奇点，同时lime?不存在. z-→0 特点：在本性奇点的邻域内imf(z)不存在且不 z→Z0 为0
3. 本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个 0 z − z 那末孤立奇点 0 z 称为 f (z) 的本性奇点. 的负幂项, 例如， , ! 1 2! 1 1 1 2 1 z = + − + − ++ z −n + n e z z 含有无穷多个z的负幂项 (0 z ) 特点: 在本性奇点的邻域内 lim ( ) 0 f z z→z 不存在且不 为 . 所以 z = 0为本性奇点， 同时 z z e 1 0 lim → 不存在
综上所述： 孤立奇点 洛朗级数特点 lim f() z→z0 存在且为 可去奇点 无负幂项 有限值 含有限个负幂项 lim fz)=co 2→Z0 m级极点 最高幂为（亿-z0)m z)=、 g() lim ()f() 8(z)≠0. 2→ 存在且有限 不存在 本性奇点 含无穷多个负幂项 且不为0
综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数特点 lim ( ) 0 f z z→z 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 m z z − ( − ) 最高幂为 0 = → lim f(z) 0 z z ( ) ( ) 0 0 z z f z m z z − → lim z z m 存在且有限 g z f z ( ) ( ) ( ) − 0 = ( ) 0. g z0
二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义不恒等于零的解析函数f(z)如果 能表示成f(z)=(?-)"p(z),其中p(z)在zo 解析且p(zo)≠0，m为某一正整数，那末o称为 f(z)的m级零点. 例6z=0是函数f(z)=z(z-1)3的一级零点， z=1是函数f(z)=(z-1)3的三级零点， 注意：不恒等于零的解析函数的零点是孤立的
二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z) 如果 能表示成 ( ) ( ) ( ), 0 f z z z z m = − (z) 0 其中 在 z ( ) 0, 解析且 z0 m为某一正整数, 那末 0 z 称为 f (z) 的 m 级零点. 例6 z = 0是函数 f (z) = z(z − 1) 3的一级零点， 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. 1 ( ) ( 1) . z = 是函数 f z = z z − 3的三级零点