⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节平面及其方程 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 、两平面的夹角 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、平面的点法式方程 在本节和下一节里,我们将以向量为工具,在空间直角坐标 系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线 向量.容易知道,平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直 线,所以当平面上一点M(x2,y,a)和它的一个法线向量 n=(A,B,C为已知时,平面m的位置就完全确定了.下面我 们来建立平面的方程
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标 系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线. 一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线 向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直. 和它的一个法线向量 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直 线，所以当平面II上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z o n = (A,B,C) 为已知时，平面Π的位置就完全确定了. 下面我 们来建立平面Π的方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设M(x2yn,是平面一点(图7-51) 那么向量必与平面的法线向量n垂直,即 它们的数量积等于零: n*MM=0 由于n=(A,B,C) MnM=(x-x0,y-J,z-0),所以有:x A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-x)=0 这就是平面上任一点M的坐标x,y,所满足的方程 反过来,如果M(x,y,z不在平面上,那么向量MM 与法线向量n不垂直,从而n*M0M≠0,即不在平面上 的点M的坐标x,y,z不满足方程(1)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 ( , , ) 0 0 M x y z o 是平面II任一点(图7－51). 那么向量必与平面II的法线向量n垂直，即 它们的数量积等于零： * 0 n M0 M = 由于 n = (A,B,C) , A(x − x0 )+ B( y − y0 )+C(z − z0 ) = 0 (1) 这就是平面II上任一点M的坐标 x, y,z 所满足的方程. ( , , ) 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z ,所以有： n 反过来，如果 M(x, y,z) 不在平面II上,那么向量 M0 M 与法线向量 不垂直, 从而 n* M0 M 0 ,即不在平面II上 的点M的坐标x，y，z不满足方程(1). x y z o M0 M n
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 由此可知,平面I上的任一点的坐标x,y,z都满足方程(1); 不在平面I上的点的坐标都不满足方程(1).这样,方程(1) 就是平面的方程,而平面就是方程(1)的图形由于方程 (1)是由平面上的一点M0(x,y0,z及它的一个法线向量 n=(A,B,O)确定的,所以方程(1)叫做平面的点法式方程 例1求过点(2,-3,0)且以m=(1,-2,3)位法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程(1),得所求平面的方程 (x-2)-2(y+3)+3z=0, x-2y+3z-8=0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 及它的一个法线向量 由此可知，平面II上的任一点的坐标x，y，z都满足方程(1)； 不在平面II上的点的坐标都不满足方程(1). 这样，方程(1) 就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的图形. 由于方程 (1)是由平面II上的一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z o n = (A,B,C) 确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程. 例 1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程(1)，得所求平面的方程 (x - 2) – 2(y + 3) + 3z=0, 即 x – 2y + 3z – 8=0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面 的方程 解先找出这平面的法线向量n由于向量n与向量MM2 MM。都垂直,而M1M2=(3,4,-6,M1M3=(2,3,-1), 所以可取它们的向量积为n: n=M,M,×M,M 143 34-6 23-1 =14i+9j-k, 根据平面的点法式方程(1),得所求的平面的方程为 14(X-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 14x+9 y Z-15=0. 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和M3 (0, 2, 3)的平面 的方程. 解 先找出这平面的法线向量n. 由于向量n与向量 M1 M3 M1 M2 都垂直，而 M1 M2 ＝(-3, 4, -6), M1 M3 =(-2, 3, -1)， 所以可取它们的向量积为n： n= M1 M2 M1 M3 2 3 1 3 4 6 − − − − i j k = =14i + 9j – k, 根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为 14(x - 2) + 9(y + 1) – (z – 4 ) = 0, 14x + 9y – z – 15 = 0. 返回