⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节三重积分 、三重积分的概念 、三重积分的计算 、小结 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 三重积分的定义 设∫(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界 函数,将闭区域任意分成n个小闭区域△v1 △v2,…,△vn,其中Av表示第个小闭区域,也表 示它的体积,在每个A上任取一点(,m,5)作 乘积f(21,1,5;)Av,(i=1,2,…,n),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为 ∫(x,y,z)dh tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 f (x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域任意分成n个小闭区域 1 v ， 2 v , , n v ，其中 i v 表示第i个小闭区域，也表 示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , ) i i i 作 乘积 i i i i f ( , , )v ，(i = 1,2, ,n)，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y,z)在闭区域上的三重积分，记为 f (x, y,z)dv, 一、三重积分的定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 即』f(x,y)dh=imn∑/(5,mn,5)△ 其中叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面 的平面来划分9,则△v=Ax4y△xn 三重积记为 f(x,y,z)d=lim∑f(5,m,51)△v →>0 Q i=1 其中d叫做直角坐标系中的体积元素 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即 f (x, y,z)dv i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dv 叫做体积元素. 的平面来划分 , 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 . i j k l 则v = x y z 三重积记为 f (x, y,z)dxdydz i i i n i i = f v = → lim ( , , ) 1 0 . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、三重积分的计算 1直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域Ω在xOy z=Z2(, y) 面上的投影为闭区域D, S: z=Z(x, y) S2:z=2(x,y 1x,y) 过点(x,y)∈D作直线, D 从石1穿入,从z2穿出 =y2(x) y=y,( tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 x y z o D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 如图， D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 先将x,y看作定值,将∫(x,y,z)只看作z的 函数,则 F(x,y)=f(x, y, z )da gI(x,y 计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 2(x,y) F(x, y)do ∫g ∫(x,y,x) dz do D:y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,得 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1 = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x y y2 x a x b 得