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Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 函数的极值与最大值 最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数极值及其求法 定义设函数(x)在区间a,b)内有定义x是 (a,b)内的一个点 如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)<f(x)均成立就称 f(x1)是函数f(x)的一个极大值 如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外,f(x)>f(x0)均成立就称 f(x1)是函数(x)的一个极小值 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、函数极值及其求法 ( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点 定理1(必要条件)设∫(x)在点x处具有导数,且在x 处取得极值,那末必定∫(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫 做函数∫(x)的驻点 注意可导函数∫(x)的极值点必定是它的弦点, 但函数的驻点却不一是是极值点 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 f ( x)在 点 x0处具有导数,且 在 x0 处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-6,x0),有f(x)>0;而x∈(x0,x0+) 有∫(x)<0,则∫(x)在x处取得极大值 (2)如果x∈(x0-6,x0,有f(x)<0;而x∈(x0,x0+6) 有∫(x)>0,则∫(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x0,x+0)时,f(x) 符号相同,则∫(x)在x处无极值 (是极值点情形) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f ( x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f ( x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) 0 0 x x − x 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在 0 x 处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (不是极值点情形) 求极值的步骤: 1)求导数∫(x); (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查∫(x)在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y o x y o 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形) 2004-4-10