⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 、函数单调性的判定法 曲线的凹凸性与拐点 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数单调性的判定法 B y=f(r y=f(r) B 0 a b x 0a x f(x)≥0 f(x)≤0 定理1设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(,b内可 导 (1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在{a,b上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)<0,那末函数y=f(x) 在{a,b上单调减少 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理1 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 导 设函数 在 上连续，在 内 可 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 2004-4-10 一、函数单调性的判定法
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证yx1,x2∈(ab,且x1<x2,应用拉氏定理得 f(x2)-f(x1)=∫(5)(x2-x1)(x1<5<x2) x,>0 若在(an,b内,∫(x)>0,则f(2)>0, ∴∫(x2)>∫(x1) y=f(x)在a,b上单调增加 若在(a,呐内,f(x)<0,则∫()<0 f∫(x2)<∫(x1) y=f(x)在a,b上单调减少 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1判定函数=x-sinx在[0,2m的单调性 解:因为在,2内 y=1-cosx>0 所以由定理可知, 函数y=x-sinx在0,2上单调增加 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 判定函数y = x −sin x在[0，2]的单调性 解： 因为在（0，2 )内 y'= 1− cos x 0 所以由定理1可知， 函数y = x −sin x在[0，2]上单调增加 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2讨论函数y=e2-x-1的单调性 解…y=e2-1.又∵D:(-0,+0) 在(-∞,0内,y<0, 函数单调减少; 在(0,+∞,y3>0, 函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在 这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号 来判别一个区间上的单调性 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号 来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+). 2004-4-10