⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节函数的连续性与间断点 函数的连续性 函数的间断点 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 二、 函数的间断点 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数的连续性 1.增量 设变量u从它的一个初值1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量,记作△u,即△u=l2-u1 增量可以是正的,也可以是负的.当△u为正时,变量u 从u1变到u21+△u时是增大的;当△为负时,变量u从 u1变到u2=1+△时是减小的 2连续 定义1设函数y=x)在点x0的某一邻域内有定义,如果当自变 量的增量Ax=xx趋于零时,对应的函数的增量 A=f(x+△x)-f(x) 也趋于零,那末就称函数y=x)在点x连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、函数的连续性 1.增量 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量，记作Δu，即Δu = u2-u1 增量可以是正的，也可以是负的. 当Δu为正时，变量u 从u1变到u2=u1+Δu时是增大的；当Δu为负时，变量u从 u1变到u2=u1+Δu时是减小的. 2.连续 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量Δx=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 Δy=f(x0+Δx) - f(x0 ) 也趋于零，那末就称函数y=f(x)在点x0连续
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义2设函数=fx)在点xo的某一邻域内有定义,如果 im∫(x)=f(x0)那么就称函数fx)在点x连续 函数f(x)连续的E-08"语言表达如下:f(x)在点x处连续 台→E>0,308>0,使当x-xl<6,有f(x)-f(x)<6 下面说明左连续与右连续的概念: 如果imf(x)=f(x)存在且等于(x)脚f(x)=f(x0) x-x 就说函数(x)在点x左连续如果imf(x)=f(x)在 x→x 且等于f(x)f(x)=f(x0,就说函数(x)在点x右连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 ( ) ( ) 那么就称函数f(x)在点x0连续. lim 0 0 f x f x x x = → − − − 0, 0, , ( ) ( ) ( ) " " : ( ) 0 0 0 x x f x f x f x f x x 使 当 有 函 数 连续的 语言表达如下 在 点 处连续 下面说明左连续与右连续的概念: 且等于 即 就说函数 在 点 右连续 就说函数 在 点 左连续 如 果 存 在 如 果 存在且等于 即 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ; lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x = = = = + + → − − → + −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 我们曾经证明: (1)有理整函数在区间-∞+0)内是连续的 (2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的 作为例子我们来证明函数ysin在区间(+∞)内是连续的 设x是区间-∝,+∞纳任意取定的一点当x有增量△时, 对应的函数增量为 △y=sin(x+△x)-sinx
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 我们曾经证明: (2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。 (1)有理整函数在区间 (−,+) 内是连续的 作为例子,我们来证明,函数y=sinx在区间 (− ,+) 内是连续的 对应的函数增量为 设x是区间(− ,+ )内任意取定的一点,当x有增量x时, y = sin( x + x) − sin x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 由三角公式有 sin(x+ax)sin x= 2sin--cos(x+) 2 △v ∴cos(x <1 2 ∴Ay=sim(x+△x)-sinx≤2sim 2 对于任意的角度a当a≠0时,有ima<a, 0≤Ay=im(x+△x)-sinx<△x 因此当Δx→0时,由夹逼准则得Ay→0 即证明了y=sn对于任意的∈(-a,+∞层是连续的 类似的可以证明函数=cosx在区间-∝,+∝是连续的 返叵 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 由三角公式有 2 sin( ) sin 2 sin ) 1 2 cos( ) 2 cos( 2 sin( ) sin 2sin x y x x x x x x x x x x x = + − + + + − = 即证明了 对于任意的 ( )是连续的 因 此 当 时 由夹逼准则得 对于任意的角度 当 时 有 = − + → → = + − sin , , 0 , 0 0 sin( ) sin , 0 , sin , y x x x y y x x x x 类似的可以证明,函数y = cos x在区间(− ,+ )内是连续的 返回