⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程()式x、y、z的一次方程,而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任 平面都可以用三元一次方程来表示 反过来,设有三元一次方程 Ax By+ Cz +D=0 我们任取满足方程的一组数x0,y,,即 Ax0+Byo+ Czo+d=0 把上述两等式相减,得 A(xx0)+B(y-Jy0)+C(z-x0)=0. 把上述两等式的点法式方程(1)作比较,可以知道方程(4)是 通过点M(x0,y,动)且以n=(4,B,O为法线向量的平面方程但 方程(2)与方程(4)同解,这是因为由(2)减去3)即得(4),又由(4) 加上3)就得(2)由此可知,任一三元一次(2)的图形总是一个平 面
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一 平面都可以用三元一次方程来表示. 反过来，设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 我们任取满足方程的一组数x0 , y0 , z0，即 A x0 + B y0+ C z0 + D = 0. 把上述两等式相减，得 A(x-x0 ) + B(y- y0 ) + C (z-z0 ) = 0. 把上述两等式的点法式方程(1)作比较，可以知道方程(4)是 通过点M0 (x0 , y0 , z0 )且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程.但 方程(2)与方程(4)同解，这是因为由(2)减去(3)即得(4)，又由(4) 加上(3)就得(2). 由此可知，任一三元一次(2)的图形总是一个平 面
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程(2)称为平面的一般方程,其中x,y,z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标,即=(A,B,O) 例如,方程3x-4y+z-9=0 表示一个平面,=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量 对于一些特殊的三元一次方程,应该熟悉它们的图形的特点 当D=0时,方程(2)成为4x+By+Cz=0,它表示一个通过 原点的平面 当A=0时,方程(2)成为Bx+Cx+D=0,法线向量m(0,B,O) 垂直于x轴,方程表示一个平行于x轴的平面 同样,方程4x+Cz+D=0和4x+B+D=0,分别表示一 个平行于y轴和z轴的平面 当A=B=0时,方程(2)成为C+D=0或乙=-如,法线向量 n(0,0,O)同时垂直轴和y轴,方程表示一个平行于xOy面的 平面
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程(2)称为平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C). 例如，方程 3x – 4y + z -9 = 0 表示一个平面，n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量. 对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当D=0时，方程(2)成为Ax + By + Cz = 0，它表示一个通过 原点的平面. 当A=0时，方程(2)成为Bx + Cz + D = 0，法线向量n(0, B, C) 垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面. 同样，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分别表示一 个平行于y轴和z轴的平面. 当A=B=0时，方程(2)成为Cz + D=0或z=- C D n(0, 0, C)同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的 平面. ，法线向量