⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节极限运算法则 无法显示该图片 定理有限个无穷小的和也是无穷小 证明考虑两个无穷小的和 设a及是当x→x时的两个无穷小而y=a+6 E>0因为a是当x→x时的无穷小对于6>0,361>0, 当0<x-x<6时,恒有
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 考虑两个无穷小的和 设及是当x → x0时的两个无穷小,而 = + 2 0 , 0, 0, 2 0, , 0 1 0 1 − → 当 时 恒 有 因 为 是 当 时的无穷小 对 于 x x x x 第五节 极限运算法则
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 因为是当x→x/时的无穷小对于>0,32>0, 2 当0<x-x0<6时,恒有 B 取δmn{61,62,则当0<x-x0<时,恒有 al<及< 从而y =g+6sa|+ +f=+=6 22 即证明了也是x→x的无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在U(x0,81内有界
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即证明了 也 是 的无穷小 从 而 及 取 则 当 时 恒 有 0 1 2 0 2 2 2 2 min{ , }, 0 , x x x x → = + + = + = = − 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， 2 0 , 0, 0, 2 , 0 2 0 2 − → 当 时 恒 有 因 为 是 当 时的无穷小对 于 x x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 则M>0,81>0,使得当0<x-x<8时 恒有≤M 又设是当x→>x0时的无穷小, ∴VE>0,38,>0,使得当0<x-x<8,时 恒有<M 8 取δ=min{81,82},则当0<x-x0<8时,恒有 ua=u a<M M 当x→>x0时,a为无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒有 使得当 时 min{ , }, 取 = 1 2 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3设limf(x)=A,img(x)=B,则 (1)lim∫(x)±g(x)=A±B; (2)limf(x)·g(x)=A·B; ()lim f(x)A 其中B≠0 g(x) B 证明imf(x)=A,limg(x)=B. f(x)=A+α,g(x)=B+β.其中α→0,B→0. 由无穷小运算法则,得 I∫(x)±g(x)-(A±B)=a±β→0.∴(1成立 ∫(x)·g(x)-(A·B)=(4+0)(B+β)-AB (4B+B)+aB→>0.:(2)成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其 中 设 则 证明 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得 [ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics f(r)AA+aA Ba-AB g(x)BB+βBB(B+β) B-Aβ→>0. 又∵β→0,B≠0,彐δ>0, B 当0<x-x0<8时,β< 2 B+≥B->B-2B=,B B(B+B)>B 故 2 B(B+B)B2 有界, (3)成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 = , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立