⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节泰勒公式 泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表 示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式 在利用微分作近似计算时 f(x)-f(x0)=f(x0(x-x0)+0(x-x) f(x)≈f(x0)+f(x)(x-x)(当x→x0时) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表 示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式. 第三节 泰勒公式 在利用微分作近似计算时 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 x0 x x0 o x x0 f x − f x = f − + − ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f − (当 时) x → x0 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 不足:1、精确度不高;2、误差不能估计. 问题:寻找函数P(x),使得∫(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数f(x)在含有x0的开区间a,b)内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 误差Rn(x)=f(x)-P(x) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n Pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到an+1)阶导数,试找 出一个关于(x-x)的n次多项式 Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…an(x-x0)(1) 来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x)高阶的 无穷小,并给出误差f(x)-Pn(x)的具体表达式 假设Pn()与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得 ∫"(x0) f("(x0) o=f(x0),a1=f(x0,a2 9 2! 将求得的系数ana1,a2,…,an代入(1)式,有 Pn(x)=f(o)+f(o(x-xo)+ ∫"(x0) (x-x0)2+ n 2! x-l n 0 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 将求得的系数 a0,a1,a2,…,an代入(1)式,有 ! ( ) , , 2! ( ) ( ), ( ), 0 ( ) 0 0 0 1 0 2 n f x a f x a f x a f x a n n = = = = − + = + − + 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x pn x f x f x x x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − (2) 来近似表达f(x),要求Pn(x)与f(x)之差是比(x-x0) n高阶的 无穷小,并给出误差|f(x)- Pn(x)|的具体表达式. 设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找 出一个关于(x-x0)的n次多项式 n pn (x) a a (x x ) a (x x ) an (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 + − (1) 假设Pn(x)与f(x)在点x0的函数值及它的直到n阶导数都相等得 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开 区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内 时,∫(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个 余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f'(x0)(x-x0)+ x- 2 0 十∴十 (n)(Xo(X 0)”+Rn( (n+1) 其中Rn(x)= (2 (x-x)(5在x与x之间) (n+1)! 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 0 x 的某个开 区 间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当 x在(a,b)内 时, f (x)可以表示为( ) x − x0 的一个n次多项式与一个 余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x之间). 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:由假设,Rn(x)在(,b)内具有直到(n+1)阶导 数,且 Rn(x0)=Rn(x0)=Rn(x0)=…=R0(x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x)”在以x及x为端点的区间 上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) Rn(x)-r(o n+1 x-x 0 Rn(51) (在x与x之间 (n+1)(51-x0) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 : 由假设,R ( x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导 数,且 两函数R ( x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的区间 上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n 2004-4-10