⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节连续函数的运算 与初等函数的连续性 连续函数的和、差、积、商的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 二、 反函数与复合函数的连续性 三、 初等函数的连续性 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续 则f(x)±g(x),f(x),g(x), f(r) (g(x)≠0 在点x1处也连续 例如,sinx,cosx在(-,+)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 定理1 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 返回 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、反函数与复合函数的连续性 定理4如果函数yJ(x)在区间上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数cg()也在对应的区间 l={yly=f(x),x∈}上单调增加(或单调减少)且连续 例1y=sinx在一石,山上单调增加且连续, 故y= arcsinx在-1,1上也是单调增加且连续 同理y= arccos在-1,1单调减少且连续 y= arctan,y= arccot在-0,+0上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、反函数与复合函数的连续性 定理4 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少) 且连续,那么它的反函数x=φ(y)也在对应的区间 Iy={y|y=f(x),x ∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 例1 y = x − 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3若limp(x)=a,函数f()在点连续, x→x0 则有im川(x)=f(a)= flim p(x) 证f(u)在点u=连续 VE>0,37>0,使当-a<m时, 恒有f(a)-f(a)<6成立 又limg(x)=a x→x 对于m>0,8>0,使当0<x-x<δ时, 恒有x)-a=-a<m成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x → → → = = = 则 有 定理3 若 函 数 在 点 连 续 证 f(u)在点u=a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a 0, 0, 0 , 对于 使当 x− x 0 时 x a x x = → lim ( ) 0 又 恒有(x)−a = u−a 成立
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 将上两步合起来: vE>0,38>0,使当0<x-xn<时, f(u)-f(a)=fl(x)1-f(a) ∴lim∫qp(x)=∫(a)=[img(x) x→x0 x→x0 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换(u=p(x)理论依据
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 将上两步合起来: , 0 0, 0, 使当0 x− x 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 x x x → = 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u=(x))的理论依据