⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节函数的极限 、函数极限的定义 二、函数极限的性质 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数极限的定义 、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义,如果存 在常数A,对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存 在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x<6时,对应的函 数值f(x)都满足不等式,|f(x)-A|<e那末常数4就叫做函 数f(x)当x→x时的极限,记作 imnf(x)=A或∫(x)→>A(x→>x0) 注 )e-8语言表述 E>0,36>0,当0<x-x<8时有f(x)-A<6 则lim∫(x)=A x→X
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1、自变量趋于有限值时函数的极限 f x A x x = → lim ( ) 0 或 ( ) ( ) x A x x0 f → → 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存 在常数A ,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存 在正数δ,使得当x 满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式，| f(x)－A|<ε那末常数A就叫做函 数f(x)当x→x0时的极限，记作 注 0, 0, 1） 语言表述 当 时有 则 − 0 x − x0 f (x) − A f x A x x = → lim ( ) 0 一、 函数极限的定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2)0<x-x0表示x≠x,x→x时f(x)有无极限与 f(x)有无定义没有关系 3)E任意给定后,才能找到δ,δ依赖于E,且δ=(δ) E越小,δ越小 4)δ不唯一,也不必找最大的,只要存在即可
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2） 表示 时 有无极限与 有无定义没有关系. 0 x − x0 0 0 x x , x → x ( ) x0 f f ( x) 3） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 越小， 越小. = ( ) 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何意义如果函数fx)当xx时极限为A,以任意给定 正数E,作两条平行于x轴的直线=4+和y=A-存在点x0的δ 邻域(xro,xa+δ),当x在邻域(xr,x0+δ内,但xx时,曲线 yfx)上的点(x:fx)都落在两条平行线之间。 y=∫(x) A+e A A-e 0 x0-6x0x+8 x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y o 几何意义 如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一 正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ 邻域(x0 -δ, x0+δ),当x在邻域(x0 -δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线 y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1证明IimC=C,(C为常数) 证ⅤE>0,38>0,当0<x-x<8时, f(x)-4=C-C=0<E成立, lim c=c x→x0 例2证明imx=x0 证f(x)-A=x-xn,VE>0,取δ=6, 当0<x-x0<8=E时, f(x)-A=x-x0<E成立, limx= x 0 x→x0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim . 0 C C x x = → lim . 0 0 x x x x = → 例1 lim , 0 C C x x = → 证明 (C为常数) 证 0, 0, 当 − 时, 0 x x0 f (x) − A = C − C = 0 成立, 例2 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 f − = − 0, 取 = , − = 当 0 x x0 时, 0 f (x) − A = x − x 成立