天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.1）微分中值定理

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理 第二节洛必达法则 第三节泰勒公式 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节函数的极值与最大值最小值 第六节函数图形的描绘 第七节曲率

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 曲率 第六节 函数图形的描绘 第五节 函数的极值与最大值最小值

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节微分中值定理 罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 、柯西中值定理 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、罗尔(Ro1le)定理 费马引理设函数f(x)在点x的某领域u(x)内有定义,并且 在x处可导,如果对任意的x∈u(x0),有 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x0) 那么∫(x0)=0 证不妨设x∈u(x)时,f(x)≤∫(x)(如果f(x)≥∫(x0) 可类似的证明).于是,对于x0+△x∈u(x),有 f(x0+△x)≤f(x) 从而当∧飞>0时, f∫(x0+△)-f(x0) 0 △v 2004-4-10

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2004-4-10 一、罗尔(Rolle)定理 0 x ( ) 0 u x 0 x 费马引理 设函数f(x)在点 的某领域 内有定义，并且 在 处可导，如果对任意的 x  u(x0 ) ，有 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 0 x0 f x  f x 或f x  f 那么 f (x0 ) = 0 证 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有 ( ) x  u x0 ( ) ( ) x0 f x  f ( ) ( ) x0 f x  f ( ) x0 + xu x0 ( ) ( ) 0 x0 f x + x  f 从而当 x  0 时， 0; ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 当△v<0时 f(x0+△x)-f(xb≥0, △v 根据函数f(x)在x可导的条件极限的保号性,便得到 f(ro=f(o)=lim f(x0+△x)-f(x) 0 △x→>0 △x f(o)=f(xo)=lim Y(o+Ax-f(xz0 △x→>0 △ 所以f(x)=0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当 x  0 时 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   +  −  =  =   +  −  =  = − +  → −  → + x f x x f x f x f x x f x x f x f x f x x x 0; ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x 根据函数f (x)在 x0 可导的条件极限的保号性，便得到 所以 f (x0 ) = 0