天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第一章 函数与极限（1.6）极限存在准则两个重要极限

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节极限存在准则两个重要极限 极限存在准则 准则|如果数列xn,Jn及乙满足下列条件: (1)yn≤xn≤zn(=1,2,3…) (2)lim yn=a, liman =a, n→00 那末数列xn的极限存在,且 limx=a 证∵yn→>a,zn→a," VE>0,N1>0,N2>0,使得 当n>N时恒有yn-a<E, 当n>N时恒有zn-a<E

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 极限存在准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = =   = → →  那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a,  n → n →    0, N1  0, N2  0, 使得, 1 n  N y − a   当 时恒有 n , 2 n  N z − a   当 时恒有 n 第六节 极限存在准则 两个重要极限

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, -8<Jn<+8,a=8<n<L+8 当n>N时,恒有 a-8<yn<xns<a+e, 即xn-a<E成立, ∴.limy.=a n n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a −   y  a + , 即 n a −   z  a + , n max{ , }, 取 N = N1 N2 上两式同时成立, 当n  N时, 恒有 a −   y  x  z  a +  , n n n 即 x − a   成立, n lim x a. n n  = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 准则|′如果当x∈U(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→>x0 x→x0 (x→>∞) (x→∞) 那末lim∫(x)存在,且等于A →x 0 x→0 准则和准则I称为夹逼准则 作为准则r的应用,下面证明一个重要的极限: sinx lim x→>0xC 首先注意到函数 SIn 对于一切≠0都有意义

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 准则Ⅰ′ 如果当 ( )0 0 x U x (或 x  M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = =   → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 作为准则 I 的应用,下面证明一个重要的极限: 1 sin lim 0 = → x x x 首先注意到函 数 对于一切 0都有意义 sin , x  x x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 两个重要极限 sInx (1)im-=1 x→>0y 证明设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<3) 作单位圆的切线,得△CO 扇形OAB的圆心角为x, △OAB的高为BD, D 于是有sinx=BD,x=弧AB, tanx=AC, sInx sinx<x<tanx,即cosx< <

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1) 1 sin lim 0 = → x x x 证明 ) 2 , , (0  设单位圆 O 圆心角AOB = x  x  tan , sin , , x AC x BD x AB = 于是有 = = 弧 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, A C o B D sin x  x  tan x, 1, sin cos   x x 即 x 两个重要极限

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 上式对于-<x<0也成立当0<x<时, 0<c0sx-1=1-cx=2sin2x∠2/,)2 222 2 lim -=0,. lim(1-cos x)=0, →02 x→0 lim cos x=1,又∴lim1=1, x→0 x→0 sInx lim x→>0x tan x 例11求lm 0x

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 2 上式对于   也成立  − x , 2 当 0 时   x  0  cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x  , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x  lim(1 cos ) 0, 0  − = → x x limcos 1, 0  = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0  = → x x x 例11 求 x x x tan lim →0