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Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 无穷小 定义1如果函数(x)当x→x(或x→∞时的极限为零,那么称 函数f(x)为当x→x(或x→∞)时的无穷小 例1:lim(x-2)=0,则称函数x-2当x→2时为无穷小 x→2 im=0,∴函数是当x→o时的无穷小 x→ 注1)无穷小量是一个变量,而不是一个数但0可以作为无 穷小的唯一一个常数 此概念对数列极限也适用.若 lim x=0,称数列xn n→0 为n→>0时的无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义1 函 数 为 当 或 时的无穷小 如果函数 当 或 时的极限为零，那么称 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 → → → → f x x x x f x x x x 一、 无穷小 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 注 1) 无穷小量是一个变量, 而不是一个数.但0可以作为无 穷小的唯一一个常数. 2) 此概念对数列极限也适用. 若 ,称数列 为 时的无穷小. lim = 0 → n n x n x n → lim( 2) 0, 2 2 . 2 − = 则称函数 − 当 → 时为无穷小 → x x x x 例1
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3)E-6(E-X)语言表述 vE>0,36>0(0rX>0),当0<x-xlk<(x>X) 时,有f(x)<E则limf(x)=0 (x→∞) 4)不能说函数∫(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷 小.即指出自变量的变化过程 5)同样有x→x0+0,x→>x-0,x→+0x→ 时无穷小 无穷小与函数极限的关系 定理1在自变量的同一变化速x→x0(或x→)中,函数 f(x)具有极限4的充分必要条件是(x)=A+a, 其中a是无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim ( ) 0 ( ) 0 = → → f x x x x 3) 语言表述 当 时 ,有 则 − ( − X) 0, 0(or X 0), f (x) 0 ( ) x − x0 x X 4) 不能说函数 是无穷小, 应该说在什么情况下的无穷 小. 即指出自变量的变化过程. f ( x) 5) 同样有 x → x0 + 0, x → x0 − 0, x → + , x → − 时无穷小. 无穷小与函数极限的关系 定理1 其 中 是无穷小 具有极限 的充分必要条件是 在自变量的同一变化过程 或 中，函数 ( ) ( ) , ( ) 0 = + → → f x A f x A x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明设imf(x)=A,则vE>0,38>0 x→x0 使当0<x-x<时,有 f(x)A<E 令a=f(x)-A,则a是x→>x/时的无穷小,且 ∫(x)=A+a 即证明了f(x)等于它的极限与一个无穷小之和 充分性 设f(x)=A+a,其中4是常数,a是x→>x/时 的无穷小,于是
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 使 当 时，有 设 则 − = → 0 0 0 lim ( ) , 0, 0 x x f x A x x f (x) − A 令＝f (x)− A,则是x → x0 时的无穷小，且 f (x) = A+ 即证明了f (x)等于它的极限A与一个无穷小之和 充分性 的无穷小，于是 设f (x) = A+,其 中A是常数，是x → x0 时
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics f(x)-A=a 因a是x→x0时的无穷小,所以E>0,3δ>0, 使当0<x <c时,有a<E 即 f(x)-4<6 即证明了A是f(x)当x→x时的极限 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f (x) − A = − → 使 当 时，有 因 是 时的无穷小，所以 0 0 0 0, 0, x x x x 即 f (x) − A 即证明了A是f (x)当x → x0时的极限 返回