数列极限的定义二、李对于我们讨论的数列x来说，重要的是：当n无限增大时，对应的x，三f(n）是否能无限地接近某如果能够的话，这个数值等于多少？个确定的数值？1.描述性定义我们先看两个例子：>1(n→8); 收敛小n+in+lx,=(-1)"+1 趋势不定． 发散1,-1,...,(-1)"+..;上页目录下页返回结束机动
二、数列极限的定义 1. 描述性定义 重要的是：当 n 无限增大时，对应的 ( ) n x f n = 是否能无限地接近某 个确定的数值？ 如果能够的话， 对于我们讨论的数列 { }n x 来说， 这个数值等于多少？ 我们先看两个例子： 1 2 , , , , ; 2 3 + 1 n n + 1 n n x n = → 1( ) n → ; − − +1 1, 1, ,( 1) , ; n − +1 = ( 1)n n x 趋势不定． 收敛 发散
一般地，我们有如下描述性定义定义8如果当n无限增大时，x，无限地接近某个确定常数a，则a 称为数列(x的极限，或称数列x子收敛于a，记作limx, =a,或 x,→a(n→)n→00如果当n无限增大时，x，不能无限地接近某个确定常数，则称数列{x无极限，或称数列(x，发散，limx，不存在。习惯上也说100目录上页下页返回结束机动
一般地，我们有如下描述性定义． 定义8 如果当n无限增大时， xn 无限地接近某个 确定常数 a, 则 a 称为数列 { }n x 的极限， 或称数列 { }n x 收敛于 a, 记作 lim , n n x = a → ( ). n 或 x a n → → 如果当n无限增大时， xn 不能无限地接近某个确 定常数，则称数列 { } xn 无极限，或称数列 { }n x 发散， 习惯上也说 n lim → xn 不存在．
2.数列极限的ε一N定义当数列极限存在时，随着数列x，的不同，趋于极限的形式也各不相同.从数轴上看有三种情形：一是从点a的左边趋于a，二是从点a的右边趋于a三是时而从点a的左边，时而从点a的右边趋于a.不管x，趋于a的过程有多复杂，在数轴上它们有一个共同之处，就是当n越来越大时，xn与极限α之间的距离越来越小，或者说，当n无限增大时，点xn无限接近点a.在数学上，用lx，-a<&来表示x与a之间的接近程度．当ε任意小时，表示x,与a无限接近上页目录下页返回结束机动
2. 数列极限的 ε− N 定义 当数列极限存在时， 随着数列 { } xn 的不同，趋于 极限 a 的形式也各不相同．从数轴上看有三种情形： 一是 从点 a 的左边趋于 a, 二是从点 a 的右边趋于 a, 三是 时而从点 a 的左边，时而从点 a 的右边趋于 a. 不管 n x 趋于 a 的过程有多复杂， 在数轴上它们有一个 共同之处，就是当 n 越来越大时， 的距离越来越小，或者说，当 n 无限增大时，点 n x 在数学上， a 之间的接近程度． 当 ε 任意小时，表示 xn 与 a 无限 n x 与极限 a 之间 无限接近点 a. 用 | |< x a n − ε 来表示 n x 与 接近．
它表明只要N很大，用n>N来表示n无限增大.而n>N就是n无限增大了。定义9设x，为数列，若存在常数α，对任意给定的正数 &，存在正数 N，当 n>N 时，有Ix,-a<8,则a称为数列x，的极限，或称数列x，收敛于alimx, =a, 或 x,→a(n→).记为1100如果不存在这样的常数a，就说数列x，没有极限或者说数列x是发散的目录上页下页返回结束机动
用 n > N 来表示 n 无限增大． 它表明只要 N 很大， n 而 n > N 就是 n 无限增大了． 定义9 设 { } xn 为数列，若存在常数 a, 对任意 给定的正数 ε, 存在正数 N , 当 n > N 时， 有 | |< − , n x a ε 则 a 称为数列 { } xn 的极限，或称数列 { } xn 收敛于 a, 记为 lim , n n x a → = ( ). n 或 x a n → → 如果不存在这样的常数 a, 就说数列 { } xn 没有极限， 或者说数列{ } xn 是发散的
上述数列极限的ε一N定义，通常简记为limx,=V>0,N>0,当n>N时,有1-00Ix,-ak<8.注意：N与任意给定的正数ε有关，它随着ε给定而确定上页目录下页返回结束机动
上述数列极限的 ε− N 定义， 通常简记为: lim n n x = a → ε > 0, > 0, N 当 n > N 时, | |< . x a n − ε 有 注意： N 与任意给定的正数 ε 有关， 它随着 ε 给定而确定