第一章函数、极限与连续教学提示：本章将在介绍函数相关概念的基础上，研究数列的极限与函数的极限，并讨论极限的一些重要性质以及运算法则。同时还介绍与极限概念密切相关的一个重要概念一一连续及连续函数的若干重要性质.教学要求：理解函数的概念，掌握函数的表示法，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，理解分段函数、反函数及复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的概念：理解数列极限的概念．理解函数极限的概念，理解左右极限的概念及函数极限存在与左右极限之间的关系：理解无穷小与无穷大的概念；理解无穷小与无穷大之间的关系．掌握极限的性质及四则运算法则：掌握利用两个重要极限求极限的方法，会用等价无穷小量求极限：理解函数连续性概念，会判别函数间断点的类型．了解连续函数的性质和初等函数的连续性。理解闭区间上连续函数的有界性、最值定理与介值定理，并会应用这些性质。教学重点：函数概念：极限的概念（包括数列极限、函数极限、左右极限）及性质：极限存在的充要条件：无穷小量、无穷大量的概念；无穷小的性质及比较：求极限的各种方法：函数连续性概念：闭区间上连续函数性质教学难点：极限的概念；两个极限存在准则的应用；求极限；闭区间上连续函数性质的应用.第一节映射与函数函数是数学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主要研究对象．本节在中学数学的基础上，进一步阐明函数的一般定义，函数的简单性质以及与函数概念有关的一些基本知识，一、集合1.集合的概念集合是数学中一个重要的概念，它在现代数学中起着非常重要的作用．所谓集合是指具有某种属性的事物的总体，其中各个事物称为这个集合的元素（简称元)．通常用大写拉丁字母A.B.C...表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素．如果α是集A的元素，则称α属于A，记作aEA，反之就称a不属于A，记作aA．一个集合，若它含有限个元素，则称为有限集；若它含无限个元素，则称为无限集。若它不含任何元素，则称为空集，用符号C表示；若它含所研究对象的全体，则称为全集，通常用xER表示.集合中元素有三个重要特性：一是确定性，集合中的元素是确定的．二是互异性，集合中的元素都是不同的对象，当两个相同的对象归入同一个集合时，只能算作这个集合的一个元素，一个集合的元素是不允许重复的。三是无序性，就是说，对于一个给定的集合，集合中的各个元素间不考虑其顺序关系，表示集合的方法通常有以下两种，一种是列举法，就是把集合的全体元素在花括号内一一列举出来的方法．例如，由元素a,b，c组成的集合A，可表示为A=(a,b,c)；另一种是性质描述法，就是把集合的全体元素共同特性在花括号内用描述性短语或数学表达式写出来的方法，例如，集合A是方程x-1=0的解集，可表示为A=（方程-1=0的解】=(x|x-1=0)
第一章 函数、极限与连续 教学提示: 本章将在介绍函数相关概念的基础上，研究数列的极限与函数的极限，并讨论极限 的一些重要性质以及运算法则．同时还介绍与极限概念密切相关的一个重要概念――连续及连续函 数的若干重要性质． 教学要求：理解函数的概念，掌握函数的表示法，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶 性，理解分段函数、反函数及复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的 概念． 理解数列极限的概念． 理解函数极限的概念，理解左右极限的概念及函数极限存在与左右 极限之间的关系． 理解无穷小与无穷大的概念；理解无穷小与无穷大之间的关系．掌握极限的性 质及四则运算法则．掌握利用两个重要极限求极限的方法，会用等价无穷小量求极限．理解函数连 续性概念，会判别函数间断点的类型．了解连续函数的性质和初等函数的连续性．理解闭区间上连 续函数的有界性、最值定理与介值定理，并会应用这些性质． 教学重点：函数概念；极限的概念（包括数列极限、函数极限、左右极限）及性质；极限存在 的充要条件；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小的性质及比较；求极限的各种方法；函数连续性 概念；闭区间上连续函数性质． 教学难点:极限的概念；两个极限存在准则的应用；求极限；闭区间上连续函数性质的应用． 第一节 映射与函数 函数是数学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主要研究对象．本节在中学数学的基础 上，进一步阐明函数的一般定义，函数的简单性质以及与函数概念有关的一些基本知识． 一、集合 1.集合的概念 集合是数学中一个重要的概念，它在现代数学中起着非常重要的作用．所谓集合是指具有某种 属性的事物的总体，其中各个事物称为这个集合的元素(简称元)．通常用大写拉丁字母 A, B,C,××× 表 示集合，用小写拉丁字母 a,b, c,××× 表示集合中的元素．如果 a 是集 A 的元素，则称 a 属于 A ，记作 a Œ A ，反之就称a 不属于 A ，记作a œ A ．一个集合，若它含有限个元素，则称为有限集；若它含 无限个元素，则称为无限集．若它不含任何元素，则称为空集，用符号C 表示；若它含所研究对象 的全体，则称为全集，通常用 xŒ R 表示． 集合中元素有三个重要特性：一是确定性，集合中的元素是确定的．二是互异性，集合中的元 素都是不同的对象，当两个相同的对象归入同一个集合时，只能算作这个集合的一个元素，一个集 合的元素是不允许重复的．三是无序性，就是说，对于一个给定的集合，集合中的各个元素间不考 虑其顺序关系． 表示集合的方法通常有以下两种，一种是列举法，就是把集合的全体元素在花括号内一一列举 出来的方法．例如，由元素a , b , c 组成的集合 A ，可表示为 A = {a,b,c}；另一种是性质描述法，就 是把集合的全体元素共同特性在花括号内用描述性短语或数学表达式写出来的方法． 例如，集合 A 是方程 2 x -1 = 0 的解集，可表示为 A = ﹛方程 2 x -1 = 0 的解﹜ 2 = {x | x -1 = 0}．
2第一章函数极限与连续对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“*"来表示该数集内排除0的集，标上“+”来表示该数集内排除0与负数的集，标上“”来表示该数集内排除负数的集。习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，即N=(0,1,2,,n}；全体整数的集合记作Z，即z={0,±1,±2…土n,；全体正整数的集合记作N+，即N+=Z+=12,n,；全体有理数的集合记作Q，即Q=(q/plpez，qz，且p,q互质）；全体实数的集合记作R，R为排除数0的实数集，R为全体正实数的集.2.集合间的关系及其运算（1）包含若集A的每个元素都是集B的元素，则称A包于B，记作AεB．如图1-1(a）：若A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A为B的真子集，记作AcB，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：包含关系是集合与集合之间的一种关系，故包含关系符号两边都是集合，（2）相等若集合A,B满足AB，且BcA，则称A与B相等，记作A=B.如图1-1(b）（3）并集由属于集A或集B的一切元素组成的集合叫做A与B的并集，记作AUB，即AUB=(x|xEA,或xeB).求集合并集的运算叫做并运算，如图1-1(c)的阴影部分所表示，（4）交集把属于集A且属于集B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作ANB，即AnB=(xxeA，且xeB).求集合交集的运算叫做交运算，如图1-1(d）的阴影部分来表示，(a)(b)(e)(d)图 1-1（5）差集由属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差，记作A-B，即A-B=(x|xeA，但xEB).求集合差集的运算叫做差运算，如图1-2(α)（b）（c)的阴影部分来表示（6）补集集Q-A称为集A在全集Q中的补集，记作A，即A=(xxEQ，且xA)求集合补集的运算叫做补运算，补集可用图1-2(d)阴影部分表示，(6)(d)(a)()图1-2设A.B.C为全集Q的任意子集，则集合的并、交、补运算满足如下运算律：I)交换律：AUB=BUA，ANB=BNA；2）结合律：（AUB)UC=AU(BUC)，（ANB)NC=AN(BNC)3)分配律：AN(BUC)=(ANB)U(ANC)，AU(BNC)=(AUB)N(AUC);4)德摩根律：AUB=ANB，ANB=AUB.3.区间
2 第一章 函数 极限与连续 对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示该数集内排除 0 的集，标上“+” 来表示该数集内排除 0 与负数的集，标上“”来表示该数集内排除负数的集． 习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N ，即N = {0,1, 2,×××, n,×××}； 全体整数的集合记作Z ，即Z = {0,±1,±2,×××,±n,×××}； 全体正整数的集合记作 + N ，即 {1,2, ,n, } + + N = Z = ××× ××× ； 全体有理数的集合记作Q ，即Q = {q p | p Œ Z ， q + Œ Z ，且 p, q 互质}； 全体实数的集合记作 R ， * R 为排除数 0 的实数集， + R 为全体正实数的集． 2. 集合间的关系及其运算 （1）包含 若集 A 的每个元素都是集 B 的元素，则称 A 包于 B ，记作 A Õ B ．如图 11 (a ) ． 若 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A ，则 A 为 B 的真子集，记作 A à B ． 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 注意：包含关系是集合与集合之间的一种关系，故包含关系符号两边都是集合． （2）相等 若集合 A, B 满足 A Õ B ，且 B Õ A，则称 A 与 B 相等，记作 A = B ．如图 11 (b ) ． （3）并集 由属于集 A 或集 B 的一切元素组成的集合叫做 A 与 B 的并集，记作 AU B ，即 AU B = {x | xŒ A ，或 x Œ B}． 求集合并集的运算叫做并运算，如图 11 (c) 的阴影部分所表示． （4）交集 把属于集 A 且属于集 B 的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 AI B ，即 AI B = {x | xŒ A ，且 x Œ B}． 求集合交集的运算叫做交运算，如图 11 (d ) 的阴影部分来表示． 图 11 （5）差集 由属于 A 但不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差，记作 A- B ，即 A- B = {x | xŒ A ，但 x œ B}． 求集合差集的运算叫做差运算，如图 12 (a) (b) (c) 的阴影部分来表示． （6）补集 集W - A 称为集 A 在全集W 中的补集，记作 A ，即 A = {x | x ŒW ，且 x œ A}． 求集合补集的运算叫做补运算，补集可用图 12 (d ) 阴影部分表示． 图 12 设 A, B,C 为全集W 的任意子集，则集合的并、交、补运算满足如下运算律： 1) 交换律： AU B = B U A ， AI B = B I A ； 2) 结合律：(AU B) UC = AU (BU C) ，(AI B) IC = AI (BI C) ； 3) 分配律： AI (B UC ) = (AI B) U (AI C) ， AU (B IC ) = (AU B) I (AU C) ； 4) 德摩根律： AU B = AI B ， AI B = AU B ． 3. 区间
第一节映射与函数3在一元微积分中最常用的实数集是区间.设a,beR，且a<b，区间用数集的记号表示：开区间：(a,b)=(xa<x<b);闭区间：[a,b]=(x|a≤x≤b);半开区间：(a,b]=(x|a<x≤b)，[a,b)=(x[a≤x<b);无限区间：(a,+00)=(x|a<x<+00]，[a,+00)=(x|a≤x<+0),(-00,b) = (x/ -00 <x<b) ,(-00,b] = (x/ +00 <x≤b) (00, +o0) = R .根据实数和数轴上点的一一对应关系，有限区间用数轴上从点a到点b的有限线段表示，数轴上点α和点b称为这些区间的端点，b-α称为区间的长度.如图1-3(a)(b)，分别表示开区间(a,b)与闭区间[α,b]，区间的端点不包括在内时，把端点画成空点，包括在内时，把端点画成实点。类似地，也可以把无限区间在数轴上表示出来，如图1-3(c)(d).[a,b](a,b)0.01.08b吉(a)(b)(c)(d)图1-3区间的端点有时包含在线段内，有时不包含在线段内：属于区间而不是端点的点称为区间的内点以后在不需要辨明所讨论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单地称它为区间，且常用字母1来表示，4.邻域邻域是实数范围内研究函数时经常用到的一个概念。设s为正数，称开区间(-8,+の)为点的邻域，记作U(x，)，即U(xo,o) =(x//x-xok8) ,其中，x称为邻域的中心，称为邻域半径，如图1-4(a)所示.80x-80X-8Xx,+8x+ox(a)(b)图1-4有时用到点x的去心8邻域U(xo,)=(x/0x-xk8),此处0x-xl表示x±x，如图1-4(b)所示。为了方便，有时把开区间(x-0,x)称为点x的左邻域，开区间(,+)称为点的右邻域注意：这里邻域的半径8虽然没有规定其大小，但在使用中一般总是取为很小的正数，且大多数情形下并不一定要指明s的大小，这时往往把点x。的邻域和去心邻域分别简记为U(x）和U°（%）二、映射1.映射概念定义1设X、Y是两个非空集合，如果存在一个对应规则于，使得对X中每个元素x，有唯一确定的元素yeY与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→Y，其中y称为元素x在映射f下的像，并记作y=f(x)，元素x称为元素y在映射f下的一个原像，集合X称为映射f的定义域，记作D，=X：X中所有元素的像所组的集合称为映射的值域，记作
第一节 映射与函数 3 在一元微积分中最常用的实数集是区间. 设a,bŒ R ，且 a < b ，区间用数集的记号表示： 开区间：(a,b) = {x | a < x < b}； 闭区间：[a,b] = {x | a £ x £ b}； 半开区间：(a,b] = {x | a < x £ b}，[a,b) = {x | a £ x < b}； 无限区间：(a,+•) = {x | a < x < +• }，[a,+•) = {x | a £ x < +• }， (-•,b) = {x | -• < x < b}，(-•,b] = {x | +• < x £ b}， (-•,+•) = R ． 根据实数和数轴上点的一一对应关系，有限区间用数轴上从点 a 到点b 的有限线段表示，数轴 上点a 和点b 称为这些区间的端点，b - a 称为区间的长度． 如图 13 (a) (b ) ， 分别表示开区间(a,b )与 闭区间[a,b ]，区间的端点不包括在内时，把端点画成空点，包括在内时，把端点画成实点．类似地， 也可以把无限区间在数轴上表示出来，如图 13 (c) (d ) ． 图 13 区间的端点有时包含在线段内，有时不包含在线段内．属于区间而不是端点的点称为区间的内 点．以后在不需要辨明所讨论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简 单地称它为区间，且常用字母 I 来表示． 4.邻域 邻域是实数范围内研究函数时经常用到的一个概念． 设d 为正数，称开区间 0 0 (x -d , x + d ) 为 点 0 x 的d 邻域，记作 0 U(x ,d ) ，即 0 U(x ,d ) = {x | 0 | x - x |< d}， 其中， 0 x 称为邻域的中心，d 称为邻域半径，如图 14 (a ) 所示． 图 14 有时用到点 0 x 的去心d 邻域 0 U (x ,d ) o = {x | 0 0 <| x - x |< d}， 此处 0 0 <| x - x | 表示 0 x ¹ x ，如图 14 (b ) 所示．为了方便，有时把开区间 0 0 (x - d , x ) 称为点 0 x 的左邻 域，开区间 0 0 (x , x + d ) 称为点 0 x 的右邻域. 注意：这里邻域的半径d 虽然没有规定其大小，但在使用中一般总是取为很小的正数，且大多 数情形下并不一定要指明d 的大小，这时往往把点 0 x 的邻域和去心邻域分别简记为 0 U(x )和 0 U (x ) o ． 二、映射 1. 映射概念 定义 1 设 X 、Y 是两个非空集合，如果存在一个对应规则 f ，使得对 X 中每个元素 x ，有唯一 确定的元素 y Œ Y 与之对应， 则称 f 为从 X 到Y 的映射， 记作 f : X ÆY ， 其中 y 称为元素 x 在映射 f 下的像，并记作 y = f (x) ，元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的一个原像，集合 X 称为映射 f 的定义域， 记作 Df = X ； X 中所有元素的像所组的集合称为映射 f 的值域，记作
4第一章函数极限与连续f(X)=(f(x)IxeX)=R, .从上述映射的定义中，需要注意的是：构成一个映射必须具备以下三个要素：定义域，对应法则，值域。元素x的像y是唯一的，但元素y的原像不一定是唯一的例1设f:R→R，对每个xER，f(x)=x2。显然f是一个映射，定义域D,=R，值域R,=(yly≥0)．对于R,中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的.在几何上，这个映射表示将x轴上的点通过y=x2对应到y轴上半轴上的点，如图1-5所示。X:x+y-图1-5图1-6例2设X=((x,y)/x2+y2=1),Y=(x,0)Ilx,f:X→Y，对(x,y)eX，有唯一确定的(x,0)e与之对应．显然是一个映射，定义域D,=X，值域R,=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上，如图1-6所示，定义2设f是从集合X到集合Y的映射，若R，=Y，则称f为X到Y上的映射为满射：若对Vx,eX,，有f()f(x)，则称f为到上的单射；若映射既是单射，又是满射，则称为双射（或一一映射）：2.逆映射定义3设映射f:D→f(D)是单射，则存在一个新的映射-I:f(D)→D，使对每个Vyef(D)，f-()=x，其中f(x)=y.称此映射f-为f的逆映射（图1-7).习惯上，把映射y=f(x)，xeD的逆映射记成y=f-(x)，xef(D).f(D)A图 1-7例3设映射y=x，xe(-,0]，则其逆映射为y=-/x，xe[0,+).3.复合映射定义4设有映射链VxeD|u=g(x)eg(D),VueD,Iy=f(u)eY=f(D),则当g(D)≤D,时，由上述映射链可定义由D到Y的的复合映射（图1-8)，记作y=f[g(x)，或(fog)(x), xeDDDY-f(D,)1-g(x)y-f(a)Jg(x)fog图1-8注意：构成复合映射的条件g(D)cD不可少否则，不能构成复合映射.例4设映射g:R→[-1,1]，对xeR，g(x)=sinx，映射f:[-1,1]→[0,1]，对每个ue[-1,1]
4 第一章 函数 极限与连续 ( ) { ( ) | } f f X = f x x Œ X = R ． 从上述映射的定义中， 需要注意的是： 构成一个映射必须具备以下三个要素:定义域， 对应法则， 值域．元素 x 的像 y 是唯一的，但元素 y 的原像不一定是唯一的． 例 1 设 f : R Æ R ，对每个 xŒ R ， 2 f (x) = x ．显然 f 是一个映射，定义域 Df = R ，值域 { | 0} Rf = y y ³ ．对于 R f 中的元素 y ，除 y = 0 外，它的原像不是唯一的． 在几何上，这个映射表示将 x 轴上的点通过 2 y = x 对应到 y 轴上半轴上的点，如图 15 所示． 图 15 图 16 例 2 设 2 2 X = {(x, y) | x + y = 1},Y = {(x,0) || x |£ 1}, f : X Æ Y ， 对(x, y) Œ X ， 有唯一确定的(x,0) Œ Y 与之对应．显然 f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 R f = Y ． 在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间[-1,1] 上，如图 16 所示． 定义 2 设 f 是从集合 X 到集合Y 的映射，若 R f = Y ，则称 f 为 X 到Y 上的映射为满射；若对 1 2 1 2 "x , x Œ X, x ¹ x ，有 1 2 f (x ) ¹ f (x )，则称 f 为 X 到Y 上的单射；若映射 f 既是单射，又是满射，则 称 f 为双射 (或一一映射) ． 2. 逆映射 定义 3 设映射 f : D Æ f (D) 是单射， 则存在一个新的映射 1 f : f (D) D - Æ ， 使对每个"y Œ f (D) ， 1 f ( y) x - = ，其中 f (x) = y ．称此映射 1 f - 为 f 的逆映射( 图 17 ) ． 习惯上，把映射 y = f (x) ， x Œ D 的逆映射记成 1 y f (x) - = ， x Œ f (D) ． 图 17 例 3 设映射 2 y = x ， x Œ(-• ,0] ，则其逆映射为 y = - x ， x Œ[0,+• ) ． 3. 复合映射 定义 4 设有映射链 = ( ) ( ) g "x Œ D | ææÆu g x Œ g D ， 1 = 1 ( ) = ( ) f "u Œ D | ææÆ y f u Œ Y f D ， 则当 1 g(D) Õ D 时, 由上述映射链可定义由 D 到Y 的的复合映射 ( 图 18 ) ，记作 y = f [g(x)]， 或 ( f o g)(x) ， x Œ D ． 图 18 注意: 构成复合映射的条件 1 g(D) Õ D 不可少．否则，不能构成复合映射． 例 4 设映射 g : R Æ [-1,1] ，对 xŒ R ， g(x) = sin x ．映射 f :[-1,1] Æ[0,1] ，对每个 u Œ[-1,1]
第一节映射与函数5f(u)=Vi-记，则映射g和F构成的复合映射f.g:R→[0,1，对每个xeR，有(f og)(x)= f[g(x)]= f[sinx]=/1-sinx=|cosx] .三、函数1.函数概念定义5设数集DR，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，记作y=f(x)，xeD，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,，即D,=D.函数定义中，对每个xeD，按对应法则，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)：因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系：函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的值域，记作R，或f(D)，即R, =f(D)=(yy=f(x),xED)-关于函数的几点补充说明：1.记号f与f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x与因变量y之间的一个对应法则，后者表示与自变量x对应的函数值。但为了叙述上的方便，习惯于用“y=f(x),xeD"或“f(x),xeD”来表示定义在D的函数，这时应理解为由它所确定的函数f.有时还直接用因变量符号来表示函数，即把函数记作y=(x)2°如果自变量x在x处有函数值，则称函数y=f(x)在x。处有定义，此时其函数值也可记作%=yl=，或%=f(x)lx=：如果自变量x在x处无函数值，则称函数y=f(x)在x处无定义。如果函数y=f(x)在区间I内的每一个点x都有定义，则称函数y=f(x)在区间I内有定义3°由函数定义可知，决定一个函数必须知道它的定义域D、对应法则f和值域R，·但当D与f确定之后，R，也就随之确定因此决定函数的要素是定义域D和对应法则f．如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的或相等的，否则就是不同的，4函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义来确定，我们把这种由实际问题所确定的函数定义域称为实际定义域：另一种是对抽象地用式子表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得这个式子有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为自然定义域．在这种约定之下，一般地用式子表达的函数可用y=f(x)表达，而不必再表达出定义域D，5在函数的定义中，如果对VxeD，对应的函数值y是唯一的，则y=f(x)称为定义在D上的单值函数如果不唯一，则y=f(x）称为定义在D上的多值函数．例如，设变量x和y的对应法则是由方程x+y=1给出，显然，对Vxe[-1,1]，由方程x2+y=1可确定出y的值，当x=-1或1时，对应y=0一个值；当x在（-1,I)取任意值时，对应的y有两个值.所以该方程确定了一个多值函数.对应多值函数，如果我们附加一些条件，使得在附加条件下，按照这个法则，对VxED，总有唯一确定的实数值与之对应，那么这就确定了一个函数.我们称这样得到函数为多值函数的单值分支.例如，在由方程x+y=1给出的对应法则中，附加y≥0"的条件，即以“x+y=1，且y≥0”作为对应法则，就可得到一个单值分支y=V1-x．由此可见，对多值函数的讨论可转化为讨论它的各个单值分支：今后凡未作特别说明时，所论函数都是指单值函数2.函数的表示法由于函数的对应关系是多种多样的，具体表示一个函数时要根据函数自身的特点采取适当的方
第一节 映射与函数 5 2 f (u) = 1- u ．则映射 g 和 f 构成的复合映射 f o g : R Æ[0,1]，对每个 xŒ R ，有 2 ( f o g)(x) = f [g(x)] = f [sin x] = 1- sin x =| cos x | ． 三、函数 1．函数概念 定义 5 设数集 D à R ，则称映射 f : D Æ R 为定义在 D 上的函数，记作 y = f (x) ，x Œ D ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，记作 Df ，即 Df = D ． 函数定义中，对每个 x Œ D ，按对应法则 f ，总有唯一确定的值 y 与之对应， 这个值称为 函数 f 在 x 处的函数值，记作 f (x) ，即 y = f (x) ．因变量 y 与自变量 x 之间的这种依赖关系，通 常称为函数关系．函数值 f (x) 的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作 R f 或 f (D) ，即 ( ) { | ( ), } Rf = f D = y y = f x xŒ D ． 关于函数的几点补充说明： 1 . o 记号 f 与 f (x) 的含义是有区别的，前者表示自变量 x 与因变量 y 之间的一个对应法则，后 者表示与自变量 x 对应的函数值．但为了叙述上的方便，习惯于用“ y = f (x), x Œ D ”或“ f (x), xŒ D ” 来表示定义在 D 的函数， 这时应理解为由它所确定的函数 f ． 有时还直接用因变量符号来表示函数， 即把函数记作 y = y(x) ． 2 . o 如果自变量 x 在 0 x 处有函数值，则称函数 y = f (x) 在 0 x 处有定义，此时其函数值也可记作 0 0 |x x y y = = ，或 0 0 ( ) |x x y f x = = ；如果自变量 x 在 0 x 处无函数值，则称函数 y = f (x) 在 0 x 处无定义．如 果函数 y = f (x) 在区间 I 内的每一个点 x 都有定义，则称函数 y = f (x) 在区间 I 内有定义． 3 . o 由函数定义可知，决定一个函数必须知道它的定义域 D 、对应法则 f 和值域 R f ．但当 D 与 f 确定之后， R f 也就随之确定．因此决定函数的要素是定义域 D 和对应法则 f ．如果两个函数的 定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的或相等的，否则就是不同的． 4 . o 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中 变量的实际意义来确定，我们把这种由实际问题所确定的函数定义域称为实际定义域．另一种是对 抽象地用式子表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得这个式子有意义的一切实数组成的集 合，这种定义域称为自然定义域．在这种约定之下，一般地用式子表达的函数可用“ y = f (x) ”表达， 而不必再表达出定义域 D ． 5 . o 在函数的定义中，如果对"x Œ D ，对应的函数值 y 是唯一的，则 y = f (x) 称为定义在 D 上 的单值函数．如果不唯一，则 y = f (x) 称为定义在 D 上的多值函数．例如，设变量 x 和 y 的对应法 则是由方程 2 2 x + y = 1给出． 显然， 对"x Œ[-1,1]， 由方程 2 2 x + y = 1可确定出 y 的值． 当 x = -1或1时， 对应 y = 0 一个值； 当 x 在(- 1,1) 取任意值时， 对应的 y 有两个值． 所以该方程确定了一个多值函数． 对 应多值函数，如果我们附加一些条件，使得在附加条件下，按照这个法则，对"x Œ D ，总有唯一确 定的实数值 y 与之对应， 那么这就确定了一个函数． 我们称这样得到函数为多值函数的单值分支． 例 如，在由方程 2 2 x + y = 1给出的对应法则中，附加“ y ³ 0 ”的条件，即以“ 2 2 x + y = 1，且 y ³ 0 ”作为对 应法则，就可得到一个单值分支 2 y = 1- x ．由此可见，对多值函数的讨论可转化为讨论它的各个 单值分支．今后凡未作特别说明时，所论函数都是指单值函数． 2．函数的表示法 由于函数的对应关系是多种多样的，具体表示一个函数时要根据函数自身的特点采取适当的方