第四章不定积分教学提示：我们在第二章中讨论了如何求一个函数的导数问题，本章将要讨论与之相反的问题即要寻找一个函数使它的导数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一教学要求：理解原函数、不定积分的概念及不定积分的几何意义；熟练掌握三种基本积分法；会计算几类特殊函数的不定积分。教学重点：原函数、不定积分的概念：微分与不定积分关系：不定积分积分法教学难点：不定积分的计算；用微元法解决实际问题.第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1.原函数的定义定义1如果函数F(x)在区间I上的导函数为f(x)，即对任意的xeI，都有F(x)= f(x)或dF(x)= f(x)dx,则称函数F(x)为f(x)(或f(x)dx）在区间I上的原函数例如，因为（sinx）=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数.又如，当xe(l,+o)时，由于Y(n(x+ V2 -1) = (1+x+x2-1Vx?-1x-1所以In(x+V-1)是一的一个原函数。Vx2-1关于原函数，我们需要说明三点.第一，一个函数具备什么条件时，能保证它一定存在原函数？这个问题将在下一章的定积分中讨论，这里先介绍一个结论，原函数存在定理如果函数f(x）在区间1上连续，则在区间I上存在可导函数F(x），使得对任意的xeI，都有 F(x)=f(x)简单地说就是，连续函数一定有原函数，第二，如果函数f(x)在区间1上存在原函数，那么f(x)的原函数的个数有多少？设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，于是对任意的xe1，都有F(x)=f(x)。显然对任意常数C，有(F(x)+C)'= F(x)= f(x),即F(x)+C也是f(x)在I上的原函数．这说明，如果函数f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数，第三，如果F(αx）和G(x）都是函数f(x)在区间「上的原函数，那么F(x)和G(x)之间有什么关系？由于F(αx)和G(x)都是函数f(αx)在区间I上的原函数，从而对任意的xEI，有
第四章 不定积分 教学提示: 我们在第二章中讨论了如何求一个函数的导数问题，本章将要讨论与之相反的问题， 即要寻找一个函数使它的导数等于已知函数．这是积分学的基本问题之一． 教学要求：理解原函数、不定积分的概念及不定积分的几何意义；熟练掌握三种基本积分法；会 计算几类特殊函数的不定积分． 教学重点：原函数、不定积分的概念；微分与不定积分关系；不定积分积分法． 教学难点: 不定积分的计算；用微元法解决实际问题. 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 1. 原函数的定义 定义 1 如果函数 F(x) 在区间 I 上的导函数为 f (x) ，即对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称函数 F(x) 为 f (x) (或 f (x)dx )在区间 I 上的原函数． 例如， 因为(sin x)¢ = cos x ，所以sin x 是cos x 的一个原函数． 又如，当 x Œ(1,+• )时，由于 2 2 2 2 1 1 (ln( 1)) (1 ) 1 1 1 x x x x x x x + - ¢ = × + = + - - - ， 所以 2 ln(x + x -1) 是 2 1 x -1 的一个原函数． 关于原函数，我们需要说明三点． 第一，一个函数具备什么条件时，能保证它一定存在原函数？这个问题将在下一章的定积分中讨 论，这里先介绍一个结论． 原函数存在定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，则在区间 I 上存在可导函数 F(x) ，使得对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) ． 简单地说就是，连续函数一定有原函数． 第二，如果函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，那么 f (x) 的原函数的个数有多少？ 设 F(x) 是函数 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，于是对任意的 x Œ I ，都有 F¢(x) = f (x) ．显然对任 意常数C ，有 (F(x) +C)¢ = F¢(x) = f (x) ， 即 F(x) + C 也是 f (x) 在 I 上的原函数．这说明，如果函数 f (x) 有一个原函数，那么 f (x) 就有无限多个 原函数． 第三，如果 F(x) 和G(x)都是函数 f (x) 在区间 I 上的原函数，那么 F(x) 和G(x)之间有什么关系？ 由于 F(x) 和G(x)都是函数 f (x) 在区间 I 上的原函数，从而对任意的 x Œ I ，有
116第四章不定积分(F(x)-G(x)= F(x)-G(x)= f(x)- f(x)=0 .由第三章第一节知，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以F(x)-G(x)=Co，(C。为某个常数).这说明，函数f(x)在区间1上的原函数F(x)和G(x)只差一个常数．因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示函数f(x)在区间1上的任意一个原函数：也就是说，f(x)在区间1上的全体原函数所组成的集合，就是函数族(F(x)+CI-00<C<+00) .由以上第二、第三两点说明，我们引进不定积分的定义，2.不定积分的定义定义2函数f(x)在区间1上的全体原函数称为f(x)在1上的不定积分，记作「f(x)dx，其中为积分号，(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.由定义2和原函数结构可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)在1上的不定积分，即[f(x)dx = F(x)+C,其中积分常数C是遍取一切的实数值因此，不定积分「f(x)dx表示的是f(x)的任意一个原函数，要计算函数的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上一个任意常数就可以了例1求[xdx.解当x(-0,+)时，有(x/3)=x2，所以x/3是x在(-00,+)上的一个原函数因此，函数x在(-o0,+o0)上的不定积分为[xdx=x/3+c.例2 求解当xe(0,+o)时,有(nx)=,所以Inx是在(0,+o)上的一个原函数。因此,函数二在(0,+o)上的不定积分为[-dx=Inx+C.当xe(-0,0)时，有(ln(-x)=所以In(-x)是一在(-0,0)上的一个原函数。因此，函(-1)=，xX数一在(-0,0)上的不定积分为[-dx = In(-x)+C .综上所述，函数一在(-80,0)U(0,+o)上的不定积分为L-dx = In|x|+C.这里提醒大家注意的是，在讨论不定积分时，必须指明被积函数f(x)的连续区间I，如例1中，我们指明相应区间为(-0,+）：又如例2中，我们指明相应区间为（-00,0)U(0,+o0）．今后在讨论不定积分
116 第四章 不定积分 (F(x) -G(x))¢ = F¢(x) -G¢(x) = f (x) - f (x) = 0． 由第三章第一节知，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以 0 F(x) -G(x) = C ， 0 (C 为某个常数) ． 这说明，函数 f (x) 在区间 I 上的原函数 F(x) 和G(x)只差一个常数．因此，当C 为任意常数时，表达式 F(x) + C 就可以表示函数 f (x) 在区间 I 上的任意一个原函数．也就是说， f (x) 在区间 I 上的全体原函数所组成 的集合，就是函数族 {F(x) +C | -• < C < +• }． 由以上第二、第三两点说明，我们引进不定积分的定义． 2. 不定积分的定义 定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作 f (x)dx Ú ，其中Ú 为 积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量． 由定义 2 和原函数结构可知，如果 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x) + C 就是 f (x) 在 I 上的不定积分，即 f (x)dx = F(x) + C Ú ， 其中积分常数C 是遍取一切的实数值．因此，不定积分 f (x)dx Ú 表示的是 f (x) 的任意一个原函数． 要计算函数的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上一个任意常数就可以了． 例 1 求 2 x dx Ú ． 解 当 x Œ (-•,+• ) 时，有 3 2 (x 3)¢ = x ，所以 3 x 3是 2 x 在(-•,+• ) 上的一个原函数． 因此，函数 2 x 在(-•,+• ) 上的不定积分为 2 3 x dx = x 3+ C Ú ． 例 2 求 1 dx x Ú ． 解 当 x Œ(0,+• ) 时， 有 1 (ln x ) x ¢ = ， 所以ln x 是 1 x 在(0,+• ) 上的一个原函数．因此， 函数 1 x 在(0,+• ) 上的不定积分为 1 dx ln x C x = + Ú ． 当 x Œ(-• ,0) 时，有 1 1 (ln( x )) ( 1) x x - ¢ = × - = - ，所以ln(- x)是 1 x 在(-• ,0) 上的一个原函数． 因此，函 数 1 x 在(-• ,0) 上的不定积分为 1 dx ln( x) C x = - + Ú ． 综上所述，函数 1 x 在(-•,0)U (0,+• ) 上的不定积分为 1 dx ln x C x = + Ú ． 这里提醒大家注意的是，在讨论不定积分时，必须指明被积函数 f (x) 的连续区间 I ．如例 1 中，我 们指明相应区间为(-•,+• ) ；又如例 2 中，我们指明相应区间为(-•,0)U (0,+• ) ．今后在讨论不定积分
117第一节不定积分的概念与性质时，为了叙述方便起见，在不至于发生混淆的情况下，总是假定不定积分是在被积函数f（x）的连续区间「来考虑，而不再指明有关区间13.不定积分的几何意义函数f(x)的原函数F(x)的图像称为f(x)的一条积分曲线.在几何上，不定积分「f(x)dx表示积分曲线F(x)沿着y轴方向从-到+连续地平行移动而产生的曲线族（称为积分曲线族），又积分曲线族中的每一条积分曲线在横坐标x处的切线斜率都为(F(x)+C)=f(x)，因此，积分曲线族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处切线是互相平行的(图4-1)y-F(0)+Cy-Fx/y=F(x)+C3图 4-1在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y=F(x)+C，再从中确定一个满足初始条件条件(x）=的原函数y=(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x，%）的积分曲线.例3设曲线通过点（0,1)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程。解设所求曲线的方程为y=y(x)，按题意有y=x，于是y=x/3+C.因为这曲线通过点(0,1)，代入上式可得C=1.故所求曲线的方程为y=x/3+14.不定积分与微分的关系从不定积分的定义，即可知如下关系：由于[f(x)dx是f(x)的一个原函数，于是有( f(x)dx) = f(x) .或d(J f(x)dx)= f(x)dx .又F(α)是F(x)的一个原函数，所以JF(x)dx= F(x)+C .虽说F（x)dx是一个整体记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作自变量x的微分对待，从而微分等式F(x)dx=dF(x)可以方便地用到被积表达式中来．因此[dF(x)= F(x)+C.由此可见，微分运算（以记号d表示）与不定积分运算（简称积分运算，以记号表示）是互逆的，当记号d与连在一起时，或互相抵消，或抵消后相差一个常数，二、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质：性质1若函数f(x)和g(x)的原函数存在，则J[f(x)±g(x)]dx=[f(x)dx±J g(x)dx .证设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是g(x)的一个原函数，则 f(x)dx=F(x)+Cj, Jg(x)dx=G(x)+C2
第一节 不定积分的概念与性质 117 时，为了叙述方便起见，在不至于发生混淆的情况下，总是假定不定积分是在被积函数 f (x) 的连续区间 I 来考虑，而不再指明有关区间I ． 3. 不定积分的几何意义 函数 f (x) 的原函数 F(x) 的图像称为 f (x) 的一条积分曲线．在几何上，不定积分 f (x)dx Ú 表示积分 曲线 F(x) 沿着 y 轴方向从-• 到 +• 连续地平行移动而产生的曲线族(称为积分曲线族) ． 又积分曲线族 中的每一条积分曲线在横坐标 x 处的切线斜率都为(F(x) +C)¢ = f (x) ，因此，积分曲线族中的每一条积 分曲线在具有同一横坐标 x 的点处切线是互相平行的(图 41)． 图 41 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式 y = F(x) + C ，再从中确定一个满足初 始条件条件 0 0 y(x ) = y 的原函数 y = y(x) ．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点 0 0 (x , y ) 的 积分曲线． 例 3 设曲线通过点(0,1) ，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程． 解 设所求曲线的方程为 y = y(x) ，按题意有 2 y¢ = x ．于是 3 y = x 3+ C ．因为这曲线通过点(0,1) ， 代入上式可得C = 1．故所求曲线的方程为 3 y = x 3 +1． 4. 不定积分与微分的关系 从不定积分的定义，即可知如下关系： 由于 f (x)dx Ú 是 f (x) 的一个原函数，于是有 ( f (x)dx) f (x) ¢ = Ú ． 或 d( f (x)dx) = f (x)dx Ú ． 又 F(x) 是 F¢(x) 的一个原函数，所以 F¢ (x)dx = F(x) + C Ú ． 虽说 F¢ (x)dx Ú 是一个整体记号，但从形式上看，被积表达式中的 dx 也可当作自变量 x 的微分对待，从 而微分等式 F¢(x)dx = dF(x) 可以方便地用到被积表达式中来．因此 dF(x) = F(x) + C Ú ． 由此可见，微分运算(以记号d 表示)与不定积分运算(简称积分运算，以记号Ú 表示)是互逆的，当 记号d 与 Ú 连在一起时，或互相抵消，或抵消后相差一个常数． 二、不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质： 性质 1 若函数 f (x) 和 g(x) 的原函数存在，则 [ f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx Ú Ú Ú ． 证 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， G(x)是 g(x) 的一个原函数，则 1 f (x)dx = F(x) +C Ú ， 2 g(x)dx = G(x) + C Ú ．
118第四章不定积分其中C、C,为任意常数。从而[f(x)dx±Jg(x)dx=(F(x)±G(x)+(C,±C,),又[(F(x)±G(x)+(C ±C,)" = F(x)±G(x)= f(x)±g(x) ,于是，(F(x)±G(x))+(C±C)是f(x)±g(x)的任意一个原函数，即有[Lf(x)±g(x)x =(F(x)±G(x)+(G±C)=J f(x)dx±Jg(x)dx性质1对有限多个函数也成立性质2若函数f(x)的原函数存在，k是非零常数，则[kf(x)dx= k[ f(x)dx .证设F(x)是f(x)的一个原函数，则[ f(x)dx=F(x)+C，其中C,为任意常数。于是kJ f(x)dx= kF(x)+ kC).又[KF(x)+kC} = kF(x) = kf(x) ,从而kF(x)+kC,是kf(x)的任意一个原函数，即有[k f(x)dx = kF(x)+ kC, = kJ f(x)dx .利用基本积分表和不定积分的两个性质可以计算一些简单函数的不定积分，三、基本积分表（一)利用积分运算是微分运算的逆运算，我们可以从导数公式得到相应的不定积分公式。下面把一些基本积分公式列成一个表，这个表通常称为基本积分表(2) J x'dx = ++(1)[kdx=kx+C+c(μ*-1)（k为常数）u+1(3) [= In|x| +C(4) [e'dx=e'+C(5) Ja'dx=+0(6) Jsin xdx=-cosx+CIna(7) J cos xdx = sin x+C(8) [sec xdx=tan x+C(9) Jcsc* xdx=-cot x+C(10)[sec x-tan xdx = secx+Cdx(11) J csc x· cot xdx = -csc x+ C(12) [arcsinx+CJJi-xdx(13) Jarctanx+C1+x以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础，必须牢记在应用时可根据被积函数的类型直接或经过简单恒等变形后，查得所需结果。例4 求Jr dx= +C=?+C=+C.2x-3+1-2例5 求[-dxx/x
118 第四章 不定积分 其中C 1、C 2 为任意常数．从而 1 2 f (x)dx ± g(x)dx = (F(x) ± G(x)) + (C ±C ) Ú Ú ， 又 1 2 [(F(x) G(x)) (C C )] F (x) G (x) f (x) g(x) ¢ ± + ± = ¢ ± ¢ = ± ， 于是， 1 2 (F(x) ±G(x)) + (C ± C ) 是 f (x) ± g(x) 的任意一个原函数，即有 1 2 [ f (x) ± g(x)]dx = (F(x) ± G(x)) + (C ± C ) = f (x)dx ± g(x)dx Ú Ú Ú ． 性质 1 对有限多个函数也成立． 性质 2 若函数 f (x) 的原函数存在，k 是非零常数，则 kf (x)dx = k f (x)dx Ú Ú ． 证 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 1 f (x)dx = F(x) +C Ú ，其中C 1为任意常数．于是 1 k f (x)dx = kF(x) + kC Ú ． 又 1 [kF(x) + kC ]¢ = kF¢ (x) = kf (x) ， 从而 1 kF(x) + kC 是 kf (x) 的任意一个原函数，即有 1 k f (x)dx = kF(x) + kC = k f (x)dx Ú Ú ． 利用基本积分表和不定积分的两个性质可以计算一些简单函数的不定积分． 三、 基本积分表（一） 利用积分运算是微分运算的逆运算，我们可以从导数公式得到相应的不定积分公式．下面把一些 基本积分公式列成一个表，这个表通常称为基本积分表． (1) kdx = kx +C Ú ( k 为常数) (2) 1 1 x x dx C m m m + = + + Ú ( m ¹ -1 ) (3) ln dx x C x = | | + Ú (4) x x e dx = e + C Ú (5) ln x x a a dx C a = + Ú (6) sin xdx = -cos x + C Ú (7) cos xdx = sin x + C Ú (8) 2 sec xdx = tan x +C Ú (9) 2 csc xdx = -cot x +C Ú (10) sec x × tan xdx = sec x + C Ú (11) csc x × cot xdx = -csc x + C Ú (12) 2 arcsin 1 dx x C x = + - Ú (13) 2 arctan 1 dx x C x = + + Ú 以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础， 必须牢记． 在应用时可根据被积函数的类型直接或 经过简单恒等变形后，查得所需结果． 例 4 求 3 1 dx x Ú ． 解 3 1 2 3 3 2 1 1 3 1 2 2 x x dx x dx C C C x x - + - - = = + = + = - + - + - Ú Ú ． 例 5 求 3 1 dx x x Ú ．
119第一节不定积分的概念与性质31解了dx=x"dx=VE+C.+C=A+1x/x3(I-x)"dx.例6求一解[(-=Ja-)*d= x*±-2[*+ -2*-4x/+* /+C.例7求[(e-2cos x)dx.解 J(e*-2cosx)dx-Je'dx-2fcos xdx=e'-2sinx+C.例8求[2*e°dx.解 [2ed= [2erd =2g+c-2+C1+In2In(2e)
第一节 不定积分的概念与性质 119 解 4 1 4 3 3 3 3 1 3 4 1 3 x dx x dx C C x x x - + - = = + = - + - + Ú Ú ． 例 6 求 1 2 (1 x) dx x - Ú ． 解 1 2 2 1 2 (1 x) dx (1 x) x dx x - - = - Ú Ú 1 2 1 2 3 2 x dx 2 x dx x dx - = - + Ú Ú Ú 1 2 3 2 5 2 = 2x - 4x 3 + 2x 5 + C ． 例 7 求 ( 2cos ) x e - x dx Ú ． 解 ( 2 cos ) 2 cos 2sin x x x e - x dx = e dx - xdx = e - x + C Ú Ú Ú ． 例 8 求 2 x x e dx Ú ． 解 2 (2 ) x x x e dx = e dx Ú Ú (2 ) ln(2 ) x e C e = + 2 1 ln 2 x x e = + C + ．