《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第2章导数与微分.pdf

第二章导数与微分教学提示：本章我们主要阐释一元函数微分学中的两个基本概念：导数与微分．由此建立起一整套的微分法公式与法则，从而系统地解决初等函数的求导问题教学要求：理解导数的概念及会利用定义求导数，掌握函数的基本求导法则：熟练应用基本求导公式计算函数的导数：理解高阶导数的定义并能进行计算：掌握一般隐函数及一般含参数方程的函数的求导方法：理解微分概念，并会进行计算教学重点：导数的概念及求导法则；高阶导数的定义；隐函数及含参数方程的函数的求导法则；函数的微分；微分中值定理：洛必达法则泰勒公式；导数的应用教学难点：导数的概念及求导法则：隐函数及含参数方程的函数求高阶导数，第一节导数概念一、问题的提出为了说明导数的概念，我们先来讨论物体作变速直线运动时的瞬时速度和平面曲线切线的斜率的问题，这两个问题在历史上都与导数概念的形成有关系。1.变速直线运动的瞬时速度如图2-1，一物体从原点O开始时（t=0）作变速直线运动，物体所走过的路程s为时间1的位置函数s=f(t)，物体经过一段时间t之后到达M。，求物体在时刻t。的瞬时速度f(to)1(t,+Ar)古SMM图2-1由于物体是沿直线作变速运动，从而物体在运动的不同时间间隔内有不同的速度值，这样用平均速度公式表达物体在不同时刻的速度就不合适了，那么这种非匀速运动的动点在时刻。的瞬时速度应该如何理解而又如何来求呢？首先给t。一个增量A，当时刻t由t.变到t。+A时，物体由点M。到达点M，对应于时间1的增量△1，物体所走路程s有相应增量As=f(to+△)-f(to),从而在t到t。+△t这段时间内的平均速度是= +)-()AtAt如果时间间隔△的值较小，那么π在实践中也可用来说明物体在时刻t。的速度．但对于物体在时刻1。的瞬时速度的精确定义来说，这样做是不够的，更确切地应该这样：令△→0，取上式的极限，如果这个极限存在，设为V，即Asf(tf。 + Ar)- f(o)At

第二章导数与微分教学提示: 本章我们主要阐释一元函数微分学中的两个基本概念：导数与微分．由此建立起一整套的微分法公式与法则，从而系统地解决初等函数的求导问题．教学要求：理解导数的概念及会利用定义求导数．掌握函数的基本求导法则；熟练应用基本求导公式计算函数的导数；理解高阶导数的定义并能进行计算；掌握一般隐函数及一般含参数方程的函数的求导方法；理解微分概念，并会进行计算．教学重点：导数的概念及求导法则；高阶导数的定义；隐函数及含参数方程的函数的求导法则；函数的微分；微分中值定理；洛必达法则；泰勒公式；导数的应用．教学难点: 导数的概念及求导法则；隐函数及含参数方程的函数求高阶导数．第一节导数概念一、问题的提出为了说明导数的概念，我们先来讨论物体作变速直线运动时的瞬时速度和平面曲线切线的斜率的问题，这两个问题在历史上都与导数概念的形成有关系． 1. 变速直线运动的瞬时速度如图 21，一物体从原点O 开始时(t = 0 )作变速直线运动，物体所走过的路程s 为时间t 的位置函数s = f (t) ，物体经过一段时间 0 t 之后到达M 0 ，求物体在时刻 0 t 的瞬时速度．图 21 由于物体是沿直线作变速运动，从而物体在运动的不同时间间隔内有不同的速度值，这样用平均速度公式表达物体在不同时刻的速度就不合适了．那么这种非匀速运动的动点在时刻 0 t 的瞬时速度应该如何理解而又如何来求呢？首先给 0 t 一个增量Dt ，当时刻t 由 0 t 变到 0 t + Dt 时，物体由点M 0 到达点M ，对应于时间t 的增量 Dt ，物体所走路程s 有相应增量 0 0 Ds = f (t + Dt) - f (t )，从而在 0 t 到 0 t + Dt 这段时间内的平均速度是 v = s t D D = 0 0 f (t t) f (t ) t + D - D ．如果时间间隔Dt 的值较小，那么v 在实践中也可用来说明物体在时刻 0 t 的速度．但对于物体在时刻 0 t 的瞬时速度的精确定义来说，这样做是不够的，更确切地应该这样：令Dt Æ 0 ，取上式的极限，如果这个极限存在，设为v ，即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s f t t f t v t t D Æ D Æ D + D - = = D D ．

53第一节导数概念这时就把这个极限值称为物体在时刻t。的瞬时速度2.平面曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为“与圆只有一个公共点的直线”：但是对于其他曲线，用“与曲线只有一个公共点的直线”作为切线的定义就不一定合适了，例如，抛物线V=与x轴和V轴分别都只有一个公共点（原点O），但实际上，只有x轴才是该抛物线在原点O处的切线：下面给出曲线上切线的定义，设有曲线C及曲线C上的一点M（图2-2（a)），在点M外另取C上一点N，作割线MN当点N沿曲线C无限逼近点M时，如果割线MN绕点M旋转而无限逼近极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.这里极限位置的含义是弦长|MN趋于零时ZNMT也趋于零.F-JNC1(a)(b)图2-2现在就曲线C对应的函数y=f(a)来讨论切线问题.设M(xo,%)=M(xg,f(x）)是曲线C上一点（图2-2（b)），根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了：为此，我们给一个增量Ar，当自变量x由x变到x+Ar时，曲线上点M变到点N，相应的函数增量为Ay= f(x +Ar)-f(x),即曲线C上异于点M的点N(x,y)为N(x+Ar,%+Ay)，于是割线MN的斜率为Ay_f(x +Ax)-f(x0)tanp:AxAx其中?为割线MN的倾角.当点N沿曲线C无限逼近点M时，Ax→0如果当△r→0时，上式的极限存在，设为k，即f(x+Ax)-f(x)Ay=limk=lim tan=limAxAr-0AxAr>0Ax→0存在，注意到当Ar→0时，有→α，即tanp→tanα。从而tanα=limtanp，其中α为切线AT的倾角，于是切线AT的斜率为m f(xo + Ar)-J(x0)tanα =k = lim = lim ArAr-0Ax4r0从上述讨论的两个问题来看，瞬时速度和切线斜率都归结为相同的极限形式。在自然科学和工程技术领域内还有许多概念，如物体温度变化的速度、交流电路中电流强度等也可归结为上述极限形式．我们撒开这些量的具体意义，抽象出它们在数量关系上的共性，就可得到函数导数的概念。二、导数的定义1.函数在一点处的导数定义1设函数y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在x处取得增量Ax(点x+Ar仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量Ay=f(x。+Ar)-f(x），如果Ay与Ax之比当△x→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x处可导，并称其极限值为函数f(x)在点处的导数，记为(x），即

第一节导数概念 53 这时就把这个极限值v 称为物体在时刻 0 t 的瞬时速度． 2. 平面曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为“与圆只有一个公共点的直线”．但是对于其他曲线，用“与曲线只有一个公共点的直线”作为切线的定义就不一定合适了．例如，抛物线 2 y = x 与 x 轴和 y 轴分别都只有一个公共点（原点O ），但实际上，只有 x 轴才是该抛物线在原点O 处的切线．下面给出曲线上切线的定义．设有曲线C 及曲线C 上的一点M (图 22 (a) )，在点M 外另取C 上一点 N ，作割线MN ．当点 N 沿曲线C 无限逼近点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而无限逼近极限位置 MT ，直线 MT 就称为曲线C 在点 M 处的切线．这里极限位置的含义是弦长| MN |趋于零时– NMT 也趋于零．图 22 现在就曲线C 对应的函数 y = f (x) 来讨论切线问题．设 0 0 0 0 M (x , y ) = M (x , f (x )) 是曲线C 上一点 (图 22 (b) )，根据上述定义要定出曲线C 在点M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了．为此，我们给 0 x 一个增量Dx ，当自变量 x 由 0 x 变到 0 x + Dx 时，曲线上点M 变到点 N ，相应的函数增量为 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) ，即曲线C 上异于点M 的点 N(x, y) 为 0 0 N(x + Dx, y + Dy) ，于是割线MN 的斜率为 0 0 ( ) ( ) tan y f x x f x x x j D + D - = = D D ，其中j 为割线 MN 的倾角．当点 N 沿曲线C 无限逼近点 M 时， Dx Æ 0 ．如果当 Dx Æ 0 时，上式的极限存在，设为k ，即 0 lim tan x k j D Æ = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x D Æ x D Æ x D + D - = = D D 存在，注意到当Dx Æ 0 时，有j Æa ，即tanj Æ tana ．从而 0 tan lim tan x a j D Æ = ，其中a 为切线 AT 的倾角．于是切线 AT 的斜率为 tana = k 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x D Æ x D Æ x D + D - = = D D ．从上述讨论的两个问题来看，瞬时速度和切线斜率都归结为相同的极限形式．在自然科学和工程技术领域内还有许多概念，如物体温度变化的速度、交流电路中电流强度等也可归结为上述极限形式．我们撇开这些量的具体意义，抽象出它们在数量关系上的共性，就可得到函数导数的概念．二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数定义 1 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处取得增量Dx (点 0 x + Dx 仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量 0 0 Dy = f (x + Dx) - f (x ) ，如果 D y 与Dx 之比当 Dx Æ 0 时的极限存在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，并称其极限值为函数 f (x) 在点 0 x 处的导数，记为 0 f ¢(x ) ，即

54第2章导数与微分= lim(+Ax)-(x0)f(x)= lim Arr→0 AxAr-0dy，或也可记作lrardx业不存在，函数f(x）在点x处可导有时也说成是f(x）在点x具有导数或导数存在.如果lim90AX那么称函数(s)在点处不可导。如果函数(s)在点。处不可导的原因是由Ar→0时兴+00Ar为了方便起见，也往往说函数f(x）在点x处的导数为无穷大导数的定义式也可取不同形式，常见的有：()=lm(=()和 ()=m(+h)=().h+0X-X式中的h即自变量的增量Axr.在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述它撇开了自变量与因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹在数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量的比是因变量在以和x+Ax为端点的区间上的平均变化率，而导数F(x）则是因变量y在点Ar处的变化率，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.2.函数在区间内的导数上面讲的是函数在一点处的导数，现在讨论函数在区间内的导数定义2若函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.定义3设函数y=f(αx)在开区间(a,b)内可导，则对任意的xe(a,b)都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数y=f(x)的导函数，记为(x)，，，或dxdx把函数f(x)在点x处的导数中x换成x，即得导函数的定义式1(0)= lmx+2-()，或 F(n)=m α+h)-(),Arh+0注意导函数定义式中，虽然x取（a.b)内的任意值，但在极限过程中x是常数，Ax或h是变量显然，函数f(x)在点x处的导数(x）是导函数f(x)点x。处的函数值，即f(xo)= f(x) lx=导函数f(x)简称导数，而f(x）是f(x)点处的导数或导数f(x)点x处的值3.利用导数定义求函数的导数现在利用导数定义，求一些初等函数的导数，例1求f(x)=C(C为常数)的导数.mC-C=0.即(C)=0.这就是说，常数的导数等于零。解f(x)=lin0h例2求函数f(x)=x"(neZ+)在x=a处的导数.x"-a"解f(a)=lim-= lim( + ax*-? +.+ a.) = na"- .ax-a

54 第 2 章导数与微分 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x f x D Æ x D Æ x D + D - ¢ = = D D ．也可记作 0 x x y = ¢ | ， 0 x x dy dx = | 或 0 ( ) x x df x dx = | ．函数 f (x) 在点 0 x 处可导有时也说成是 f (x) 在点 0 x 具有导数或导数存在．如果 0 limx y D Æ x D D 不存在，那么称函数 f (x) 在点 0 x 处不可导．如果函数 f (x) 在点 0 x 处不可导的原因是由Dx Æ 0 时 y x D Æ • D ，为了方便起见，也往往说函数 f (x) 在点 0 x 处的导数为无穷大．导数的定义式也可取不同形式，常见的有： 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) limx x f x f x f x Æ x x - ¢ = - 和 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x Æ h + - ¢ = ．式中的h 即自变量的增量Dx ．在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题．导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述．它撇开了自变量与因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹在数量方面来刻画变化率的本质：因变量增量与自变量增量的比 y x D D 是因变量 y 在以 0 x 和 0 x + Dx 为端点的区间上的平均变化率，而导数 0 f ¢(x ) 则是因变量 y 在点 0 x 处的变化率，它反映的是因变量随自变量的变化而变化的快慢程度． 2. 函数在区间内的导数上面讲的是函数在一点处的导数，现在讨论函数在区间内的导数．定义 2 若函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内每一点处可导，则称函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内可导．定义 3 设函数 y = f (x) 在开区间(a,b ) 内可导，则对任意的 xŒ(a,b) 都对应着 f (x) 的一个确定的导数值．这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y = f (x) 的导函数，记为 f ¢ (x) ， x y¢ ， dy dx ，或 df dx ．把函数 f (x) 在点 0 x 处的导数中 0 x 换成 x ，即得导函数的定义式 0 ( ) ( ) ( ) limx f x x f x f x D Æ x + D - ¢ = D ，或 0 ( ) ( ) ( ) limh f x h f x f x Æ h + - ¢ = ．注意导函数定义式中，虽然 x 取(a,b ) 内的任意值，但在极限过程中 x 是常数，Dx 或 h 是变量．显然，函数 f (x) 在点 0 x 处的导数 0 f ¢(x ) 是导函数 f ¢ (x) 点 0 x 处的函数值，即 0 0 ( ) ( ) x x f x f x = ¢ = ¢ | ．导函数 f ¢ (x) 简称导数，而 0 f ¢(x ) 是 f (x) 点 0 x 处的导数或导数 f ¢ (x) 点 0 x 处的值． 3. 利用导数定义求函数的导数现在利用导数定义，求一些初等函数的导数．例 1 求 f (x) = C (C 为常数)的导数．解 0 ( ) lim 0. h C C f x Æ h - ¢ = = 即(C)¢ = 0 ．这就是说，常数的导数等于零．例 2 求函数 ( ) n f x = x ( n + Œ Z )在 x = a 处的导数．解 1 2 1 1 ( ) lim lim( ) n n n n n n x a x a x a f a x ax a na x a - - - - Æ Æ - ¢ = = + + ×××+ = - ．

第一节导数概念 55 把以上结果中的a 换成 x ，得 1 ( ) n f x nx - ¢ = ，即 1 ( ) n n x nx - ¢ = ．更一般地，对于幂函数 y x ( ) m = m Œ R ，有 1 (x ) x m m m - ¢ = ．这就是幂函数的求导公式．这个公式的证明将在以后来讨论．特别取m = -1,1 2 时，有 1 2 (x ) x - - ¢ = - ， 1 ( ) 2 x x ¢ = ．例 3 求函数 ( ) x f x = a 的导数 (a > 0,a ¹ 1) ．解 0 0 1 ( ) lim lim x h x h x h h a a a f x a h h + Æ Æ - - ¢ = = ．令 1 h a - = t ，则 1 h a = + t ， 1 ln(1 ) ln h t a = + ，又h Æ 0 ，有t Æ 0 ，因而 0 1 ( ) lim h x h a f x a Æ h - ¢ = 0 lim ln(1 ) ln x t t a t a Æ = + 0 1 ln lim ln(1 ) x t t a a Æ t = × + 0 1 ln ln[lim(1 ) ] x t t a a t Æ = × + ln x = a a ，即( ) ln x x a ¢ = a a ．这就是指数函数的导数公式．特别地，取a = e 时，由上式得( ) x x e ¢ = e ，这表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要的特性．例 4 求函数 f (x) = sin x 的导数．解 0 sin( ) sin ( ) limh x h x f x Æ h + - ¢ = 0 1 lim[ 2cos( 2)sin( 2)] h x h h Æ h = × + 0 sin( 2) lim[cos( 2) ] h 2 h x h Æ h = + × 0 0 sin( 2) limcos( 2) lim h h 2 h x h Æ Æ h = + × = cos x ，即 (sin x)¢ = cos x ．这就是说，正弦函数的导数是余弦函数．用类似的方法，容易求得(cos x)¢ = - sin x ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数．例 5 求函数 ( ) loga f x = x (a > 0,a ¹ 1) 的导数．解 0 log ( ) log ( ) lim a a h x h x f x Æ h + - ¢ = 0 1 lim[ log ] a h x h Æ h x + = 0 1 lim[ log (1 )] a h x h x Æ x h = × + 0 1 limlog (1 ) x h a h h x x Æ = × + 0 1 log [ lim (1 ) ] x h a h x h x x Æ = × + loga e x = 1 x ln a = ，即 1 (log ) ln a x x a ¢ = ．这就是对数函数的导数公式．特别地，取a = e 时，由上式得自然对数函数的导数(ln x)¢ =1 x ．三、导数的几何意义函数 f (x) 在点 0 x 处的导数 0 f ¢(x ) 在几何上表示曲线 f (x) 在点 0 0 (x , f (x )) 处的切线的斜率，即 0 k = tana = f ¢(x ) ，其中a (0 £a < p ) 是过曲线上点 0 0 (x , f (x )) 的切线的倾斜角(图 23)．

56 第 2 章导数与微分图 23 如果函数 f (x) 在点 0 x 处的导数为无穷大，这时曲线 f (x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 0 x = x 为极限位置，即曲线 f (x) 在点 0 0 (x , f (x )) 处具有垂直于 x 轴的切线 0 x = x ．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线 f (x) 在点 0 0 M (x , f (x )) 处的切线方程为 0 0 0 y - f (x ) = f ¢(x )(x - x ) ．过切点 0 0 M (x , f (x )) 且与切线垂直的直线，称为曲线 y = f (x) 在点 M 处的法线．如果 0 f ¢(x ) ¹ 0 ，法线的斜率为 0 1 f (x ) - ¢ ，从而法线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y f x x x f x - = - - ¢ ．例 6 求曲线 3 2 y = x 与直线 y = 3x - 1平行的切线方程和法线方程．解由于直线 y = 3x - 1的斜率为 3 ，设曲线 3 2 y = x 上的点 0 0 (x , f (x )) 的切线斜率为 3 ，即有 0 0 0 1 3 2 2 0 3 3 ( ) 3 2 2 x x x x x x y x x x = = = ¢ | = ¢ | = | = = ，于是得 0 x = 4 ，从而 0 f (x ) = f (4) = 8，故所求切线方程为 y -8 = 3(x - 4) ，即 y = 3x - 4 ，所求法线方程为 y - 8 = -(x - 4) 3．例 7 求曲线 3 y = x 的通过点(1,4) 的切线方程．解设切点为 0 0 (x , f (x )) ，则切线的斜率为 0 3 2 0 0 k f (x ) (x ) x x 3x = = ¢ = ¢ | = ，于是所求切线方程可设为 2 0 0 0 y - f (x ) = 3x (x - x ) ，又切线通过点 (1,4) ，故有 3 2 0 0 0 4 - x = 3x (1- x ) ，即 2 3 0 0 4 = 3x - 2x ，由此解得 0 0 x = 2, f (x ) = 8 ，故所求切线方程为 y =12x - 16 ．四、函数可导与连续的关系连续与可导是函数的两个重要概念．虽然在导数的定义中未明确要求函数在 0 x 连续，但却蕴涵可导必然连续这一关系． 1. 可导必连续定理 1 若函数 f (x) 在点 0 x 处可导，则函数 f (x) 在点 0 x 处必连续．证设函数 f (x) 在点 0 x 处可导，即 0 0 lim ( ) x y f x D Æ x D = ¢ D ，则有 0 0 0 0 lim lim( ) lim lim 0 x x x x y y y x x D Æ D Æ x D Æ x D Æ D D D = ×D = × D = D D ．所以函数 f (x) 在点 0 x 处连续． 2. 连续未必可导函数 f (x) 在点 0 x 处连续的函数未必在点 0 x 处可导．例 8 函数 3 f (x) = x 在(-•,+•) 内连续，但在 x = 0 处不可导，因为在 x = 0 处，有 3 3 3 2 0 0 0 0 ( ) (0) 0 1 lim lim lim lim x 0 x 0 x x f x f x x Æ x Æ x Æ x Æ x - - = = = = +• - - 即导数为无穷大(导数不存在)．从几何直观上看，它的图像在 x = 0 处有垂直于 x 轴的切线 x = 0 （图 24）．

《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第2章 导数与微分

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