《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第7章 多元函数微分学

第七章多元函数微分学教学提示：在多元函数微分学中，也有相似一元函数的极限、连续、导数和微分等基本概念：但这些概念有许多新的特点、新的问题需要讨论，这正是学习多元函数有关知识应特别注意的，一般来说，一些概念和定理如果在二元函数情况下得到了证明，就不难推广到二元以上的多元函数的情形。本章以讨论二元函数为主。教学要求：理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；理解二元函数的几何意义：了解二元函数的极限及连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质：知道一切多元初等函数在其定义域内是连续的；理解偏导数的定义及其几何义意；熟练掌握一阶偏导数及二阶偏导数的计算方法；理解多元函数全微分的概念，熟练掌握全微分的计算方法：了解二元函数全微分存在的必要条件和充分条件了解全微分形式的变性；掌握复合函数微分法，会求隐函数的偏导数；理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法；了解空间曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线的概念，会求它们的方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念：掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值；并会解决一些简单的应用问题，教学重点：多元函数概念；多元函数的极限；偏导数与全微分；方向导数与梯度；多元函数微分学的应用教学难点：复合函数微分法；方程组确定的隐函数的偏导数：多元函数微分学的应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维向量空间讨论一元微积分用到的一些概念、理论和方法都是基于数轴（R）上的点集、距离、邻域和区间等概念。为了将一元微积分推广到多元函数的情形，我们先将这些概念加以推广，同时还需涉及其它一些概念。1.平面点集平面上建立直角坐标系后，平面上的点与二元有序数组（x）之间就有一一对应关系，从而二元有序数组(x,y)的全体表示平面上一切点的集合，记为R，即R=R×R=(x,J)|x,yeR),该集合表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集，记作E=((xy)l(x,y)具有某种性质P).例如，平面上以原点为中心，r为半径的圆内所有的点的集合是C=(x,y)x+y2<r)，如果我们以点P表示(x,y)，IOP|表示点P到原点O的距离，那么集合C也可表示成C=(PIIOPKr)(1)邻域设P(x,y%)是xOy平面上的一个点，是某一正数。则与点P(x,y%)距离小于的点P(x,y)的全体称为点P的邻域（圆邻域），记为U(P,)，即U(P,8)=(PIIPP8)，如图7-1(a)所示，其中

第七章 多元函数微分学 教学提示: 在多元函数微分学中，也有相似一元函数的极限、连续、导数和微分等基本概念．但 这些概念有许多新的特点、新的问题需要讨论．这正是学习多元函数有关知识应特别注意的．一般来 说， 一些概念和定理如果在二元函数情况下得到了证明， 就不难推广到二元以上的多元函数的情形．本 章以讨论二元函数为主． 教学要求：理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；理解二元函数的几何意义；了解二元 函数的极限及连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；知道一切多元初等函数在其定义域内 是连续的；理解偏导数的定义及其几何义意；熟练掌握一阶偏导数及二阶偏导数的计算方法；理解多 元函数全微分的概念， 熟练掌握全微分的计算方法； 了解二元函数全微分存在的必要条件和充分条件,  了解全微分形式的变性； 掌握复合函数微分法， 会求隐函数的偏导数； 理解方向导数与梯度的概念， 并 掌握其计算方法；了解空间曲线的切线及法平面和曲面的切平面及法线的概念,会求它们的方程；了解 二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件； 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简 单多元函数的最大值和最小值；并会解决一些简单的应用问题． 教学重点：多元函数概念；多元函数的极限；偏导数与全微分；方向导数与梯度；多元函数微分 学的应用. 教学难点: 复合函数微分法；方程组确定的隐函数的偏导数；多元函数微分学的应用． 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n 维向量空间 讨论一元微积分用到的一些概念、理论和方法都是基于数轴(R) 上的点集、距离、邻域和区间等 概念．为了将一元微积分推广到多元函数的情形，我们先将这些概念加以推广，同时还需涉及其它一 些概念． 1.  平面点集 平面上建立直角坐标系后，平面上的点与二元有序数组(x, y) 之间就有一一对应关系，从而二元有 序数组(x, y) 的全体表示平面上一切点的集合，记为 2 R ，即 = ¥ {(x, y) | x, y Œ } 2 R R R = R ,该集合表示坐 标平面．坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合称为平面点集，记作 E ={(x, y) | (x, y) 具有某种性质 P } ． 例如，平面上以原点为中心， r 为半径的圆内所有的点的集合是 2 2 2 C ={(x, y)| x + y < r }．如果我 们以点 P 表示(x, y) ,|OP |表示点 P 到原点O 的距离，那么集合C 也可表示成C ={P | |OP|< r}． (1) 邻域 设 0 0 0 P (x , y ) 是 xOy 平面上的一个点，d 是某一正数．则与点 0 0 0 P (x , y ) 距离小于d 的点 P(x, y) 的全 体称为点 P 0 的d 邻域( 圆邻域) ，记为 0 U(P ,d ) ，即 0 0 U(P ,d ) ={P || PP |< d}，如图 7­1 (a ) 所示，其中

207第一节多元函数的基本概念IPP/(x-x)+(y-)此外，我们称U(P,o)=(0P8)与U(,)=((x,)lx-x8,|-)分别为点P的去心8邻域和8方邻域（图7-1(b））：因为方邻域与圆邻域可以互相包含（图7-1(c))，因而在讨论实际问题中也常使用方邻域如果不需要强调邻域半径S，则用U(P）与U（P）分别表示P的邻域或去心邻域，PU(P.8)P(5)P(J)8P(.30)U(P.0)(a)(e)(0)图 7-1(2)点与点集的关系设ECR是xOy平面上的一个点集，任意一点PeR是xOy平面上的一个点，内点如果存在点P的某一邻域U(P)，使U(P)CE，则称P为E的内点.如图7-2中点P就是内点.外点如果存在点P的某一邻域U(P)，使U(P)NE=の，则称P为E的外点.如图7-2中点P就是外点.边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P为E的边界点如图7-2中点P就是边界点.E的边界点的全体称为E的边界，记作aEE的内点必属于E：E的外点必不属于E；而E的边界点可以属于E，也可以不属于E，PPP图7-2聚点如果点P的任一去心邻域U（P,)内总有E中的点，则称P是E的聚点由聚点的定义知，E的聚点既可以属于E，也可以不属于E例如，E=((x,)|l<x+y4)，满足1<x+y<4的一切点(x,)都是E的内点；满足x+y=1的一切点（xy)都是E的边界点，它们都不属于E：满足x?+y=4的一切点（x,y)也是E的边界点，它们也都属于E：E及其边界aE上点都是E的聚点(3）一些重要的平面点集根据点集中点的特征，再来定义一些重要的平面点集，开集如果点集E的点都是内点，则称E为开集，闭集如果点集E的边界EE，则称E为闭集。如，((x,)|l<x+<4)为开集，(x,)|1<x+4)为闭集，而(x,)|l<x2+4)既非开集，也非闭集

第一节 多元函数的基本概念 207 2 2 0 0 0 | P P |= (x - x ) + (y - y ) ． 此外，我们称 0 0 U (P ,d ) ={P | 0 <| PP |< d } o 与 0 0 0 U(P ,d ) ={(x, y) || x - x |< d ,| y - y |< d} 分别为点 P 0 的去心d 邻域和d 方邻域( 图 7­1 (b )) ．因为方邻域与圆邻域可以互相包含( 图 7­1 (c)) ，因 而在讨论实际问题中也常使用方邻域．如果不需要强调邻域半径d ，则用 0 U(P ) 与 0 U (P ) o 分别表示 P 0 的邻域或去心邻域． 图 7­1 (2) 点与点集的关系 设 E à 2 R 是 xOy 平面上的一个点集，任意一点 PŒ 2 R 是 xOy 平面上的一个点． 内点 如果存在点 P 的某一邻域U(P ) ，使U(P) à E ，则称 P 为 E 的内点．如图 7­2 中点 P 1 就是内 点． 外点 如果存在点 P 的某一邻域U(P ) ，使U(P) I E = Æ ，则称 P 为 E 的外点．如图 7­2 中点 P 2 就 是外点． 边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 P 为 E 的边界点．如 图 7­2 中点 P 3 就是边界点． E 的边界点的全体称为 E 的边界，记作¶ E ． E 的内点必属于 E ； E 的外点必不属于 E ；而 E 的边界点可以属于 E ，也可以不属于 E ． 图 7­2  聚点 如果点 P 的任一去心邻域U (P,d ) o 内总有 E 中的点，则称 P 是 E 的聚点． 由聚点的定义知， E 的聚点既可以属于 E ，也可以不属于 E ． 例如， 2 2 E = {(x, y)|1< x + y £ 4}，满足 2 2 1< x + y < 4 的一切点(x, y) 都是 E 的内点；满足 2 2 x + y =1 的一切点(x, y) 都是 E 的边界点，它们都不属于 E ；满足 2 2 x + y = 4 的一切点(x, y) 也是 E 的边界点，它 们也都属于 E ； E 及其边界¶ E 上点都是 E 的聚点． (3) 一些重要的平面点集 根据点集中点的特征，再来定义一些重要的平面点集． 开集 如果点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集． 闭集 如果点集 E 的边界¶E à E ，则称 E 为闭集． 如， 2 2 {(x, y)|1< x + y < 4} 为开集， 2 2 {(x, y)|1£ x + y £ 4} 为闭集，而 2 2 {(x, y)|1< x + y £ 4} 既非开 集，也非闭集．

2087章多元函数微分学连通集若点集E内任何两点都可用完全属于E的曲线连接起来，则称E是连通集如图7-3所示，R2上的点集E、E,是连通集，E，是非连通集图7-3区域连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，有界集设E为点集，如果存在正数，使得EcU(O.8），其中O是坐标原点，则称E为有界集，否则，称为无界集，如((x,y)/l<x+y4)为区域。((x,)/x+y≥0)是无界闭区域，((x,y)x+y≤1)是有界闭区域.而((x,y)|x+y>0)是无界开区域2.n维向量空间设(f土g)(x,y)=f(x,y)±g(x,y)为取定的一个正整数，用R"表示n元有序数组(x,r,",x)的全体构成的集合，即R"=RxRx.×R=(x,X,x,)/x, eR,i=1,2,.n),每个n元有序数组=(,2,"x）称为R"中的一个点(元素)，或一个n维向量，数x,(i=1,2,n)称为该点的第i个坐标或该n维向量的第(x,J)→(xo,y）个分量.当x,=0(i=1,2,,n)时，称0=(0,0,,0)为R"的零向量或零元，为了在集合R"中的元素之间建立联系，我们在R"中定义线性运算如下：设x=(a,",），=(y,y2y)为R"中任意两个元素，eR，规定x+j=(x+y,+y2",x,+y)，ax=(ax,x,",ax),这样定义了线性运算的R"称为n维向量空间R"中的点=(,2,",x)和点=(y,y2"y)间的距离p(,)规定为p(,)=(-) +(-) ++(x-)容易得知，当n=12.3时，上述两点距离的规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间内两点间的距离一致，R"中的点=(x,x2""x）和零元=(0,0…,0)间的距离p(,0)记作l（通常在R'、R、R"中把记作，即Ix=x+x++x采用这一记号，结合向量的线性运算，我们有Ix-=/(x-y)2+( -y2)+.+( -y,) = p(x,y) .前面就平面点集所陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去，如,设PeR",是某一正数，则n维空间内的点集U(P,o)=(PlIPP<o,PR")定义为P的8邻域以邻域为基础，可定义去心邻域、内点、边界点、区域、聚点等一系列概念

208 7 章 多元函数微分学 连通集 若点集 E 内任何两点都可用完全属于 E 的曲线连接起来，则称 E 是连通集． 如图 7­3 所示， 2 R  上的点集 E 1 、 E 2 是连通集， E 3是非连通集． 图 7­3  区域 连通的开集称为区域或开区域． 闭区域 开区域连同它的边界一起，称为闭区域． 有界集 设 E 为点集，如果存在正数d ，使得 E ÃU(O,d ) ，其中O 是坐标原点，则称 E 为有界 集．否则，称为无界集． 如 2 2 {(x, y)|1< x + y < 4} 为区域．{(x, y)| x + y ³ 0}是无界闭区域， 2 2 {(x, y)| x + y £1}是有界闭区 域．而{(x, y)| x + y > 0}是无界开区域． 2. n 维向量空间 设( f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) 为取定的一个正整数，用 n  R 表示 n 元有序数组 1 2 ( , , , ) n x x ××× x 的全体 构成的集合，即 1 2 {( , , , ) , 1,2, , } n i  = ¥ ¥×××¥ x x ××× x | x Œ i = ××× n n  R R R R = R ， 每个 n 元有序数组 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 称为 n  R 中的一个点(元素)，或一个n 维向量，数 i  x (i =1,2,××× ,n) 称为 该点的第i 个坐标或该n 维向量的第 0 0 (x, y) Æ (x , y ) 个分量． 当 0 i  x = (i =1,2,××× ,n) 时， 称0 = (0,0,××× ,0) r 为 n  R 的零向量或零元． 为了在集合 n  R 中的元素之间建立联系，我们在 n  R 中定义线性运算如下： 设 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r ， 1 2 ( , , , ) n y = y y ××× y r 为 n  R 中任意两个元素，l Œ R ，规定 1 1 2 2 ( , , , ) n n x + y = x + y x + y ××× x + y r r ， 1 2 ( , , , ) n lx = lx lx ××× lx r ， 这样定义了线性运算的 n  R 称为 n 维向量空间． n  R 中的点 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 和点 1 2 ( , , , ) n y = y y ××× y r 间的距离 r (x, y) r r 规定为 2 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n r x y = x - y + x - y + ××× + x - y r r ． 容易得知，当 n =1,2,3 时，上述两点距离的规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间内两点间的 距离一致． n  R 中的点 1 2 ( , , , ) n x = x x ××× x r 和零元0 = (0,0,××× ,0) r 间的距离 r(x,0) r r 记作|| x || r (通常在 1 R 、 2 R 、 3 R 中 把|| x || r 记作| x | r )，即 2 2 2 1 2 n || x ||= x + x + ××× + x r ． 采用这一记号，结合向量的线性运算，我们有 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) n n || x - y ||= x - y + x - y + ××× + x - y = r x y r r ． 前面就平面点集所陈述的一系列概念，可推广到 n 维空间中去，如,设 0 n P Œ R , d 是某一正数，则 n 维空间内的点集 0 0 ( , ) { , } n U P d = P || PP |< d PŒ R 定义为 P 0 的d 邻域．以邻域为基础，可定义去心邻域、内点、边界点、区域、聚点等一系列概念．

209第一节多元函数的基本概念二、多元函数的概念1.二元函数的概念一元函数仅是一个自变量的函数，而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.例1长方形的面积s与长方形的长x和宽y两个量对应，其关系为S=xy.例2长方体的体积V与长方体的长x，宽y，高=三个量对应，其对应规律为V=xy.上述两例是多元函数的实例．抽去它们的几何等特性，仅保留数值关系的共性，可得到多元函数的定义，定义1设D是平面f(x,y)内的一个非空点集。如果对任意点(x,y)eD(或P(x,y)eD)，按照一定法则f总有唯一确定的值=与之对应，则称=是x、的二元函数（或称=是点P的函数），记为z=f(x,y),(x,y)eD, 或==f(P),P(x,y)eD.其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，=称为因变量，而数集f(D)=(=|z= f(x,y),(x,y)eD)称为该函数的值域设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的点(x,y)eD，对应的函数值为z=f(x,y).这样在空间确定一点M(xy,=)：当(x,y)遍取D上一切点，得到一个空间点集(x,y,z)[z= f(x,y),(x,y)eD) ,该点集称为二元函数z=f（x，y）的图形（图7-4），通常我们也说二元函数的图形是一曲面，定义域D为该曲面在xOy平面上的投影图 7-4例如，由空间解析几何知道，由方程x+y+=α?所确定的函数的图形是球心在原点、半径为α的球面，它的定义域是圆形封闭区域D=((x,Jy)x2+y≤α)类似地，我们可以定义n元函数，设D是R"内的一个非空点集，如果对任意点(，，",x)eD(或P(，，x)eD)，按照一定法则总有唯一确定的值u与之对应，则称u是x,2，x的n元函数(或称=是点P的函数)，记为u=f(x,x,",x,)，(x,,",x)eD,或u=f(P), P(x,r,.,x,)eD.在n=2或3时，习惯上将点(,r）与(x,x2,x)分别写成(x,y)与(x,y,=)：这时，若用字母表示R或R中的点，即写成P(x,y)或M(x,y,=)，则相应的二元函数或三元函数也可简记为z=f(P)及u=f(M).当n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时，n元函数统称为多元函数，2.多元函数定义域的求法若多元函数关系用解析式子表示，则定义域就是使运算有意义的自变量值的全体，其求法与一元

第一节 多元函数的基本概念 209 二、多元函数的概念 1.  二元函数的概念 一元函数仅是一个自变量的函数．而在许多实际问题和数学理论中，经常会遇到多个变量之间的 依赖关系． 例 1  长方形的面积S 与长方形的长 x 和宽 y 两个量对应，其关系为S = xy ． 例 2  长方体的体积V 与长方体的长 x ，宽 y ，高 z 三个量对应，其对应规律为V = xyz ． 上述两例是多元函数的实例． 抽去它们的几何等特性，仅保留数值关系的共性，可得到多元函 数的定义． 定义 1  设 D 是平面 f (x, y)内的一个非空点集．如果对任意点(x, y)ŒD (或 P(x, y)Œ D )，按照一定 法则 f 总有唯一确定的值 z 与之对应，则称 z 是 x 、 y 的二元函数(或称 z 是点 P 的函数)，记为 z = f (x, y),(x, y)ŒD ，或 z = f (P),P(x, y)ŒD ． 其中点集 D 称为该函数的定义域， x, y 称为自变量， z 称为因变量．而数集 f (D) ={z | z = f (x, y),(x, y)Œ D} 称为该函数的值域． 设函数 z = f (x, y) 的定义域为 D ，对于任意取定的点(x, y)ŒD ， 对应的函数值为 z = f (x, y) ．这样 在空间确定一点M (x, y,z ) ．当(x, y) 遍取 D 上一切点，得到一个空间点集 {(x, y,z) | z = f (x, y),(x, y)Œ D}， 该点集称为二元函数 z = f (x, y) 的图形（图 7­4），通常我们也说二元函数的图形是一曲面，定义域 D  为该曲面在 xOy 平面上的投影． 图 7­4  例如，由空间解析几何知道， 由方程 2 2 2 2 x + y + z = a 所确定的函数的图形是球心在原点、半径为a  的球面，它的定义域是圆形封闭区域 2 2 2 D ={(x, y) | x + y £ a }． 类似地，我们可以定义n 元函数． 设 D 是 n  R 内的一个非空点集．如果对任意点 1 2 ( , , , ) n x x ××× x Œ D (或 1 2 ( , , , ) P n x x ××× x Œ D )，按照一定法 则 f 总有唯一确定的值u 与之对应，则称u 是 1 2 , , , n x x ××× x 的n 元函数(或称 z 是点 P 的函数)，记为 1 2 ( , , , ) n u = f x x ××× x ， 1 2 ( , , , ) n x x ××× x Œ D ， 或 u = f (P) ， 1 2 ( , , , ) P n x x ××× x Œ D ． 在 n = 2 或3时，习惯上将点 1 2 (x , x ) 与 1 2 3 (x , x , x ) 分别写成(x, y) 与(x, y,z ) ．这时，若用字母表示 2 R 或 3 R 中的点，即写成 P(x, y) 或 M (x, y,z ) ，则相应的二元函数或三元函数也可简记为 z = f (P) 及 u = f (M ) ． 当 n =1时，n 元函数就是一元函数．当n ³ 2 时， n 元函数统称为多元函数． 2.  多元函数定义域的求法 若多元函数关系用解析式子表示，则定义域就是使运算有意义的自变量值的全体，其求法与一元

2107章多元函数微分学函数有极其类似的方法，可将一元函数中的方法推广至多元函数，一般为xOy平面上的区域，三元函数定义域一般为空间区域，这些点集可用自变量所应满足的不等式或不等式组表示，例3求下列二元函数的定义域：(1) == (++); (2) :=aresin(t* + y): (3) =-arsin(3--~),Vx-y2解（1)因为对数的真数非负，故所求定义域为D=(x,y)Ix+y>0)，即定义域D是直线x+y=0上方的无界区域(图7-5)(2）由反正弦函数的定义可知，此函数的定义域是D=（(x,y)/x+y≤1)，即定义域D是以原点为中心，1为半径的圆的内部和边界，这是一个有界闭区域(图7-6).(3）要使表达数有意义，必须[2≤x2+y≤4[13-x-],即x-y2>0x>y2故所求定义域为D=(x,)[2≤x2+y2≤4,x>y)(图7-7)图 7-6图7-5图7-73.多元函数的四则运算和数量乘法运算多元函数的四则运算和数量乘法与一元函数的情形类似，可将一元函数中的方法推广至多元函数，如二元函数的四则运算和数量乘法的定义为() (f±g)(x,y)=f(x,y)±g(x,y):(2) (af(x,y)=af(x,y) :(3) (fg)(x,y)=f(x,y)-g(x,y);(,J)=(x,)(4)g(x,y)+0.g(x,y)(g)三、多元函数的极限1．二元函数极限的概念讨论函数f(x,)当(x,y)→(x,y)，即P(x,y)→P(xg,)时的极限。这里P→P表示平面上的点P以任何方式趋近点P(图7-8)，即点P沿着不同方向的直线或曲线趋近P(但不能达到P).也就是点P与点P间的距离趋于零，即IPP= (x-x) +(y-)→0 .与一元函数类似，给出二元函数的极限定义

210 7 章 多元函数微分学 函数有极其类似的方法，可将一元函数中的方法推广至多元函数．一般为 xOy 平面上的区域，三元函 数定义域一般为空间区域，这些点集可用自变量所应满足的不等式或不等式组表示． 例 3  求下列二元函数的定义域： (1) z = ln(x + y) ；(2) 2 2 z = arcsin(x + y ) ；(3) 2 2 2 arcsin(3 x y  ) z  x y - - = - ． 解 (1) 因为对数的真数非负，故所求定义域为 D ={(x, y)| x + y > 0}，即定义域 D 是直线 x + y = 0 上方的无界区域(图 7­5)． (2) 由反正弦函数的定义可知，此函数的定义域是 2 2 D ={(x, y) | x + y £1} ，即定义域 D 是以原点 为中心，1 为半径的圆的内部和边界，这是一个有界闭区域(图 7­6)． (3) 要使表达数有意义，必须 2 2 2 3 1 0 x y  x y Ï| - - |£ Ì Ó - > ，即 2 2 2 2 x y  4 x y Ï £ + £ Ì Ó > ， 故所求定义域为 2 2 2 D ={(x, y) | 2 £ x + y £ 4, x > y }(图 7­7)． 图 7­5  图 7­6  图 7­7 3.  多元函数的四则运算和数量乘法运算 多元函数的四则运算和数量乘法与一元函数的情形类似，可将一元函数中的方法推广至多元函 数．如二元函数的四则运算和数量乘法的定义为 (1) ( f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) ； (2) (l f )(x, y) = l f (x, y) ； (3) ( fg)(x, y) = f (x, y)× g(x, y) ； (4) ( , ) ( , ) ( , ) f f x y  x y  g g x y Ê ˆ Á ˜ = Ë ¯ ， g(x, y) ¹ 0 ． 三、多元函数的极限 1．二元函数极限的概念 讨论函数 f (x, y)当 0 0 (x, y) Æ (x , y ) ，即 0 0 0 P(x, y) Æ P (x , y ) 时的极限．这里 P Æ P0 表示平面上的点 P 以任何方式趋近点 P0 (图 7­8)，即点 P 沿着不同方向的直线或曲线趋近 P0 (但不能达到 P0 )．也就是点 P 与点 P 0 间的距离趋于零，即 2 2 0 0 0 | PP |= (x - x ) + ( y - y ) Æ 0 ． 与一元函数类似，给出二元函数的极限定义．