第三章中值定理与导数的应用教学提示：我们知道导数是差商的极限：差商刻画的是函数再区间商的平均变化率，而导数刻画的则是函数在一点处的瞬时变化率，也就是说，差商反映了函数在区间上的性态，导数反映了函数在一点处的形态。上章中，我们介绍了导数与微分这两个有密切关系的概念，并集中讨论了如何求各类函数和各种形式所表示的函数的导数，同时推出了求导的基本公式和一套方法与法则，即所谓的微分法.在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些基本性质．为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础.教学要求：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件及结论：了解三个定理之间的关系，理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义；并会利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式证明有关命题和不等式；掌握运用洛必达法则求极限的方法；掌握函数增减性的判定方法：掌握函数凹凸性的判定方法；掌握函数的极值及其判定法会求最大最小值问题.掌握利用导数研究函数性态描绘函数图像的方法，教学重点：微分中值定理的应用，洛必达法则的应用：用导数研究函数性态，教学难点：利用中值定理证题；综合应用各种方法简便地求出各种极限；泰勒中值定理的条件、结论与应用：利用函数的单调性证明不定式；极值与最值的应用：函数图形的描绘：弧微分公式的推导.第一节微分中值定理在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些性质，例如，常数的导数为零，当反过来，若以函数f(x)在区间I的导数为零，那么这个函数在区间I是否一定为常数？此问题若从导数的几何意义去考虑，很难想象f(x)在1不是常数，但要想从差商的极限关系式f(x+Ax)- f() =0, xe IlimAx来推出f(x）为常数并不是一望可知的：因而为便于研究，需要去寻找差商与导数之间的直接关系，而不是它们之间的极限关系，这个直接关系就是所谓的微分学基本定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具：也是解决实际问题的理论基础，从而应该是首先需要阐明的一、罗尔定理为了应用方便，先介绍费马定理，费马引理若函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义，且在点x处可导，如果对任意的xeU(x)，有f(x)≤f(o)(或f(x)≥f())则f(x)=0通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）证不妨设xeU()时，有f(x)≤f().则对x+AreU(x)，有f(x+Ax)≤f()，从而
第三章 中值定理与导数的应用 教学提示: 我们知道导数是差商的极限．差商刻画的是函数再区间商的平均变化率，而导数刻 画的则是函数在一点处的瞬时变化率．也就是说，差商反映了函数在区间上的性态，导数反映了函 数在一点处的形态．上章中，我们介绍了导数与微分这两个有密切关系的概念，并集中讨论了如何 求各类函数和各种形式所表示的函数的导数，同时推出了求导的基本公式和一套方法与法则，即所 谓的微分法．在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些基本性质．为了便于研究，需要先 阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理 论基础． 教学要求：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件及结论；了解三个定理之 间的关系，理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义；并会利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理、 泰勒公式证明有关命题和不等式；掌握运用洛必达法则求极限的方法;掌握函数增 减性的判定方法； 掌握函数凹凸性的判定方法；掌握函数的极值及其判定法; 会求最大最小值问 题.掌握利用导数研究函数性态描绘函数图像的方法． 教学重点：微分中值定理的应用，洛必达法则的应用；用导数研究函数性态． 教学难点: 利用中值定理证题；综合应用各种方法简便地求出各种极限；泰勒中值定理的条件、 结论与应用；利用函数的单调性证明不定式；极值与最值的应用；函数图形的描绘；弧微分公式的 推导． 第一节 微分中值定理 在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些性质，例如，常数的导数为零，当反过来， 若以函数 f (x) 在区间 I 的导数为零，那么这个函数在区间 I 是否一定为常数？此问题若从导数的几 何意义去考虑，很难想象 f (x) 在 I 不是常数，但要想从差商的极限关系式 0 ( ) ( ) lim 0, x f x x f x x I D Æ x + D - = Œ D 来推出 f (x) 为常数并不是一望可知的．因而为便于研究，需要去寻找差商与导数之间的直接关系， 而不是它们之间的极限关系．这个直接关系就是所谓的微分学基本定理，它是用导数来研究函数本 身性质的重要工具．也是解决实际问题的理论基础，从而应该是首先需要阐明的． 一、罗尔定理 为了应用方便，先介绍费马定理． 费马引理 若函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 0 U(x ) 内有定义，且在点 0 x 处可导，如果对任意的 0 x Œ U(x ) ，有 0 f (x) £ f (x ) (或 0 f (x) ³ f (x ) )， 则 0 f ¢(x ) = 0． 通常称导数为零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)． 证 不妨设 0 x Œ U(x ) 时，有 0 f (x) £ f (x )．则对 0 0 x + Dx Œ U(x ) ，有 0 0 f (x + Dx) £ f (x ) ，从而
75第一节微分中值定理当x>0时，有(g+At)-()≤0;Ax当Ar<0时，有(+4)-()≥0.Ax根据函数f(x)在x可导的条件及极限的保号性，便得到(0)=(g)= im ()-()≤0,X-Xo(g)= ()= lim ()-()≥0.→3x-Xo故f(x)=0.如果f(x)≥f(x)，可以类似地证明.定理1（罗尔定理）如果函数f(x)满足1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导；3)区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)：那么在(a,b)内至少存在一点5，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f(5)=0.证因为f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m这样，只有两种可能情形：(1)M=m，这时f(x)在[a,b)上必然取相同的数值m：f(x)=m.所以，对Vxe(a,b)，有f(x)=0，因此，任取e(a,b)，有f()=0.(2)M>m·因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在[a,b)的端点处的函数值，为确定起见，不妨设mf(a)，那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()=m，因此，Vxe[a,b]，有f(x)≥f()，从而由费马引理可知，f()=0.罗尔定理的几何意义如图3-1所示，即连续曲线y=f(x）（α≤x≤b)的弧AB上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则弧上除端点外至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于x轴，从而平行于弦AB.o1图3-1必须指出，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见图3-2．习惯上把结论中的称为中值，它不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个f(x)0缺染件1)缺件2)快染件3)图3-2例1设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，证明：存在=(0,1)，使f()+5f'()=0
第一节 微分中值定理 75 当 Dx > 0 时，有 0 0 ( ) ( ) 0 f x x f x x + D - £ D ； 当 Dx < 0 时，有 0 0 ( ) ( ) 0 f x x f x x + D - ³ D ． 根据函数 f (x) 在 0 x 可导的条件及极限的保号性，便得到 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x f x x x + Æ + - ¢ = ¢ = £ - ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x f x x x - Æ - - ¢ = ¢ = ³ - ． 故 0 f ¢(x ) = 0． 如果 0 f (x) ³ f (x )，可以类似地证明． 定理 1（罗尔定理） 如果函数 f (x) 满足 1) 在闭区间[a,b ]上连续； 2) 在开区间(a,b )内可导； 3) 区间端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ； 那么在(a,b )内至少存在一点x ，使得函数 f (x) 在该点的导数等于零，即 f ¢(x ) = 0 ． 证 因为 f (x) 在[a,b ]上连续，则 f (x) 在[a,b ]上可取得最大值 M 和最小值 m ．这样，只有两种 可能情形： (1) M = m ， 这时 f (x) 在[a,b ]上必然取相同的数值m ：f (x) = m ． 所以， 对"x Œ (a,b) ， 有 f ¢(x) = 0 ， 因此，任取x Œ (a,b) ，有 f ¢(x ) = 0 ． (2) M > m ．因为 f (a) = f (b) ，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于 f (x) 在[a,b ]的端点处 的函数值．为确定起见，不妨设m ¹ f (a) ，那么必定在开区间(a,b )内有一点x 使 f (x ) = m ．因此， "x Œ [a,b] ，有 f (x) ³ f (x ) ，从而由费马引理可知， f ¢(x ) = 0 ． 罗尔定理的几何意义如图 31 所示, 即连续曲线 y = f (x) (a £ x £ b) 的弧 AB 上，除端点外处处 有不垂直于 x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点C ，在该点处曲线的切线平行于 x 轴, 从而平 行于弦 AB ． 图 31 必须指出，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将 不一定成立，见图 32．习惯上把结论中的 ξ 称为中值，它不一定唯一，可能有一个，几个甚至无 限多个． 图 32 例 1 设 f (x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 f (0) = f (1) = 0 ，证明：存在x Œ (0,1) ，使 f (x ) +x f ¢(x ) = 0 ．
76第三章中值定理与导数的应用证设F(x)=xf(x)，则函数F(x)在[0,1)上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(I)，于是在(0,1)内至少存在一点5，使得F（)=0，即f()+5（)=0.讨论方程的根有重要和广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程的根的情形．对可导函数y=f(x)在区间(a,b)内，如果f(x)有两个等值点，由罗尔定理，方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根在两个等值点之间；如果f(x)有3个等值点，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有两个根；以此类推例2不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根解函数f(x)在R上可导，由于f(x)有3个零点：X=1,予=2,=3.因此方程f(x)=0至少有两个实根：又f(x)=0是二次方程，至多有两个实根所以方程f(x)=0有且仅有两个实根分别落在区间(1,2),(2,3)内二、拉格朗日中值定理罗尔定理中f(α)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到了限制.如果把这个条件取消并保留其余两个条件，并相应的改变结论，就是如下一个十分重要的拉格朗日定理：定理2（拉格朗日中值定理）若函数f(x)满足1】在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点5，使得F(5)= 1(b)-f(a) b-a该式称为拉格朗日中值公式。在证明拉格朗日定理之前，我们先来看它的几何意义，拉格朗日中值公式左端为曲线在点C处的切线斜率，而右端是弦AB的斜率，如图3-3所示：因此拉格朗日定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处有不垂直x轴的切线。那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线与弦AB平行.图3-3利用罗尔定理来证明拉格朗日定理。由于所证等式F(5)=(b)-/()可转化为等式b-a(5)- ()--()=0.,b-a若把该等式左端看作是函数(x)在点的导数，即4(5)= F(5)- (b)- 1(a)b-a那么可以构造辅助函数9(t)= (1)- (6)-(a)x,b-a在[a,b]上满足罗尔定理
76 第三章 中值定理与导数的应用 证 设 F(x) = xf (x) ，则函数 F(x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 F(0) = F(1) ，于是在(0,1) 内 至少存在一点x ，使得 F¢(x ) = 0 ，即 f (x ) +x f ¢(x ) = 0 ． 讨论方程的根有重要和广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程的根的情形．对 可导函数 y = f (x) 在区间(a,b )内，如果 f (x) 有两个等值点，由罗尔定理，方程 f ¢(x) = 0 在(a,b )内至 少有一个根在两个等值点之间；如果 f (x) 有 3 个等值点，则方程 f ¢(x) = 0 在(a,b )内至少有两个根； 以此类推． 例 2 不求函数 f (x) = (x -1)(x - 2)(x - 3) 的导数，说明方程 f ¢(x) = 0 有几个实根． 解 函数 f (x) 在 R 上可导，由于 f (x) 有 3 个零点： 1 2 3 x = 1, x = 2, x = 3．因此方程 f ¢(x) = 0 至少 有两个实根；又 f ¢(x) = 0 是二次方程，至多有两个实根. 所以方程 f ¢(x) = 0 有且仅有两个实根分别 落在区间(1,2),(2,3) 内. 二、拉格朗日中值定理 罗尔定理中 f (a) = f (b) 这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到了限制．如果把这个 条件取消并保留其余两个条件，并相应的改变结论，就是如下一个十分重要的拉格朗日定理： 定理 2（拉格朗日中值定理）若函数 f (x) 满足 1) 在闭区间[a,b ]上连续； 2) 在开区间(a,b )内可导， 那么在(a,b )内至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - ． 该式称为拉格朗日中值公式． 在证明拉格朗日定理之前，我们先来看它的几何意义．拉格朗日中值公式左端为曲线在点C 处 的切线斜率，而右端是弦 AB 的斜率，如图 33 所示．因此拉格朗日定理的几何意义是：如果连续 曲线 y = f (x) 的弧 AB 上除端点外处处有不垂直 x 轴的切线．那么这弧上至少有一点C ， 使曲线在C 点处的切线与弦 AB 平行． 图 33 利用罗尔定理来证明拉格朗日定理．由于所证等式 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - 可转化为等式 ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f b a x - ¢ - = - ， 若把该等式左端看作是函数φ (x)在点x 的导数，即 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ f b a x x - ¢ = ¢ - - ， 那么可以构造辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x x b a - = - - ， 在[a,b ]上满足罗尔定理．
第一节微分中值定理77证明引进辅助函数(x)= (x)- (b)- (@),b-a则(1)在[a,b)上连续, 在(a,b)内可导,且(a)=5(a)-ar(b)=0(b),从而函数(1)满足罗尔定理的b-a条件，于是(x)在(a,b)内至少存在一点，使得()=0，即1(5)= 1(6)-1(a) ,b-a所以拉格朗日中值公式成立。显然，拉格朗日中值公式对于b<g也成立在实际应用中，拉格朗日定理还有有限增量形式：在拉格朗日中值公式中的a.b可以用开区间(a,b)中任意的x和x+Ax来代替，则有f(x+Ax)-f(x)=f'()Ax,x<E<x+Ax,或Ay=f(E)Ax,x<E<x+Ax.该式称为拉格朗日定理的增量形式.如果用θ表示在0和1之间的数值，那么拉格朗日定理的增量形式也可以表示成Ay=f'(x+Ar)Ax,0<0<1.与用微分近似增量的式子Ay=f(x)Ax比较，后者是近似式并要求f"(x)0，Ax|很小。而拉格朗日中值公式的增量是一个精确式，不要求f(5)*0，Ar只要是有限量，不要求|4x|很小。这就使得拉格朗日定理在微分学中占有重要地位，通常称它为微分学基本定理，推论1若函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)=0，则在[a,b]上有f(x)=C(c为常数).证在区间[a,b]上任取两点x,()，由拉格朗日定理，有在,之间使f(x)-f(x)=f'()(-x)=0,即f(x)=f(x）.又x,x是I上任意两点，所以f(αx)=C(C为常数）推论2 若在区间(a,b)内有f(x)=g(x)，则在区间(a,b)内有f(x)=g(x)+C(C为常数)推论2可由推论1得到，留给读者练习例3证明：对一切x>0，有元<n(1+x)<x.1+x证因为f(x)=ln(1+x)在[0,x)上满足拉格朗日中值定理的条件，从而至少存在e(0,x)，使得f(x)- f(O) = f'()x .1+，即In(1+x)=又由0<5<x，得由于f(0)=0，f()=1+51+5x<x<x.1+x1+5×<In(1+x)<x (x>0).因此1+ x例4（导数极限定理）设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内连续，在U）内可导，且极限limf(x)存在，则f(x)在点x可导，且f(xo)=limf(x).证分别按左右导数来证明上式成立.(1)任取xeU(x)，f(x)在[xo,x)上满足拉格朗日中值定理条件，则存在e(x,x)，使得
第一节 微分中值定理 77 证明 引进辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x x b a - = - - ， 则φ (x)在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) bf a af b φ a φ b b a - = = - ，从而函数φ (x)满足罗尔定理的 条件，于是φ (x)在(a,b )内至少存在一点x ，使得φ¢(x ) = 0，即 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - ， 所以拉格朗日中值公式成立． 显然，拉格朗日中值公式对于b < a 也成立． 在实际应用中，拉格朗日定理还有有限增量形式．在拉格朗日中值公式中的a,b 可以用开区间 (a,b )中任意的 x 和 x + D x 来代替，则有 f (x + Dx) - f (x) = f ¢(x )D x ， x < x < x + D x ， 或 Dy = f ¢(x )D x ， x < x < x + D x ． 该式称为拉格朗日定理的增量形式.如果用q 表示在 0 和 1 之间的数值，那么拉格朗日定理的增 量形式也可以表示成 Dy = f ¢(x +qDx)D x ，0 < q < 1． 与用微分近似增量的式子Dy ª f ¢(x)D x 比较, 后者是近似式并要求 f ¢(x) ¹ 0 ，| Dx | 很小．而拉格 朗日中值公式的增量是一个精确式，不要求 f ¢(x ) ¹ 0， D x 只要是有限量，不要求| Dx | 很小．这就 使得拉格朗日定理在微分学中占有重要地位，通常称它为微分学基本定理． 推论 1 若函数 f (x) 在[a,b ]上连续，在开区间(a,b )内可导，且 f ¢(x) º 0 ，则在[a,b ]上有 f (x) º C (C 为常数)． 证 在区间[a,b ]上任取两点 1 2 1 2 x , x (x < x ) ，由拉格朗日定理，有x 在 1 2 x , x 之间使 2 1 2 1 f (x ) - f (x ) = f ¢(x )(x - x ) = 0， 即 2 1 f (x ) = f (x )．又 1 2 x , x 是 I 上任意两点，所以 f (x) º C (C 为常数)． 推论 2 若在区间(a,b )内有 f ¢(x) = g¢(x) ，则在区间(a,b )内有 f (x) = g(x) +C (C 为常数)． 推论 2 可由推论 1 得到，留给读者练习． 例 3 证明：对一切 x > 0 ，有 ln(1 ) 1 x x x x < + < + ． 证 因为 f (x) = ln(1+ x)在[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件，从而至少存在x Œ (0, x) ，使得 f (x) - f (0) = f ¢(x )x ． 由于 f (0) = 0 ， 1 ( ) 1 f x x ¢ = + ，即ln(1 ) 1 x x x + = + ．又由0 < x < x ，得 1 1 x x x x x < < + + ． 因此 ln(1 ) 1 x x x x < + < + (x > 0) ． 例 4（导数极限定理） 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 0 U(x )内连续，在 0 U (x ) o 内可导，且极限 0 lim ( ) x x f x Æ ¢ 存在，则 f (x) 在点 0 x 可导，且 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x Æ ¢ = ¢ ． 证 分别按左右导数来证明上式成立． (1)任取 0 0 x U (x ) Œ + ， f (x) 在 0 [x , x]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 0 x Œ (x , x) ，使得
78第三章中值定理与导数的应用f(x)- f(x0) = f'() .x-Xo由于x<5<x，因此当x→x时随之有=→，对上式两边取极限，使得)-()= 1m (5)=m (5)=f(0+0),lim1→5x-Xo即f(x)=(x+0).(2)同理可得f(x)=f(-0).因为limf(x)=k存在，所以f(x+0)=f(x-0)=k，从而f(x)=f(x)=k，即f()=k，也即f(x)=lim f(x).由导数极限定理可知：在区间I上的导函数f（x)在1上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。例5求分段函数x+sinx,x≤0f(x)=[In(1+ x),x>0的导数.解首先易得1+2xcosx2,x<0f(x) =1x>0[1+x"进一步考虑f(x)在x=0处的导数.在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理来解决.由于lim f(x) = lim In(1+x)=0= f(0),lim f(x) = lim(x+sin x)=0= f(0).因此f(x)在x=0处连续,又因为f(0-0)=lim(1+2xcosx)=1,f'(0+0)=lim→01+x所以limf(x)=1,依导数极限定理可知f(x)在x=0处可导,且f(0)=1.注若把f在x≤0处改为f(x)=sinx，即[x+sinx, x≤0f(x)=[In(1 + x),x>0则f(x)在x=0处仍连续。但是由于2xcosx2,x<0f(x) =1X>0'[i+x'1从而f(0-0)=lim(2xcosx)=0，f(0+0)=lim=1.从而f(x)在x=0的导数不存在。但是(x)?0*1+在x=0的左、右导数都存在f(x)- f(0)sinx-0f'(0) = lim0=f(0-0),=limx-0xx→0f(x)- f(0)In(1+ x)-0limf(0) = lim1= f(0+0)x-0030x所以f(O)不存在
78 第三章 中值定理与导数的应用 0 0 ( ) ( ) ( ) f x f x f x x x - = ¢ - ． 由于 0 x < x < x ，因此当 0 x x Æ + 时随之有 0 x x Æ + ，对上式两边取极限，使得 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) x x x x f x f x f x x x Æ + Æ + - = ¢ - 0 0 lim ( ) ( 0) x f f x x x Æ + = ¢ = ¢ + , 即 0 0 f (x ) f (x 0) + ¢ = ¢ + ． (2)同理可得 0 0 f (x ) f (x 0) - ¢ = ¢ - ． 因为 0 lim ( ) x x f x k Æ ¢ = 存在，所以 0 f ¢(x + 0) 0 = f ¢(x - 0) = k ，从而 0 f (x ) + ¢ = 0 f (x ) k - ¢ = ,即 0 f ¢(x ) = k , 也即 0 0 ( ) lim ( ) x x f x f x Æ ¢ = ¢ . 由导数极限定理可知：在区间 I 上的导函数 f ¢(x)在 I 上的每一点，要么是连续点，要么是第 二类间断点，不可能出现第一类间断点． 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数． 例 5 求分段函数 2 sin 0 ( ) ln(1 ) 0 x x x f x x x Ï + , £ = Ì Ó + , > 的导数. 解 首先易得 2 1 2 cos 0 ( ) 1 0 1 x x x f x x x Ï + , < Ô ¢ = Ì Ô , > Ó + 进一步考虑 f (x) 在 x = 0 处的导数.在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导 数极限定理来解决.由于 0 lim ( ) x f x Æ + 0 lim ln(1 ) 0 (0) x x f Æ + = + = = , 0 lim ( ) x f x Æ - 2 0 lim( sin ) 0 (0) x x x f Æ - = + = = . 因此 f (x) 在 x = 0 处连续,又因为 2 0 (0 0) lim(1 2 cos ) 1 x f x x Æ - ¢ - = + = , 0 1 (0 0) lim 1 x 1 f x Æ + ¢ + = = + . 所以 0 lim ( ) 1 x f x Æ ¢ = ,依导数极限定理可知 f (x) 在 x = 0 处可导,且 f ¢(0) = 1. 注 若把 f 在 x £ 0 处改为 2 f (x) = sin x ，即 2 sin 0 ( ) ln(1 ) 0 x x x f x x x Ï + , £ = Ì Ó + , > ， 则 f (x) 在 x = 0 处仍连续. 但是由于 2 2 cos 0 ( ) 1 0 1 x x x f x x x Ï , < Ô ¢ = Ì Ô , > Ó + ， 从而 2 0 (0 0) lim(2 cos ) 0 x f x x Æ - ¢ - = = , 0 1 (0 0) lim 1 x 1 f x Æ + ¢ + = = + .从而 f (x) 在 x = 0 的导数不存在. 但是 f (x) 在 x = 0 的左、右导数都存在 0 ( ) (0) (0) lim x 0 f x f f x - Æ - - ¢ = - 2 0 sin 0 lim 0 (0 0) x x f x Æ - - = = = ¢ - , 0 ( ) (0) (0) lim x 0 f x f f x + Æ + - ¢ = - 0 ln(1 ) 0 lim 1 (0 0) x x f x Æ + + - = = = ¢ + . 所以 f ¢(0) 不存在