第八章重积分教学提示：在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，本章和下一章是多元函数积分学的内容：定积分这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念，本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分)的概念、计算法以及它们的一些应用，教学要求：理解二重积分的概念、几何意义、物理意义；掌握二重积分的性质：掌握二重积分计算方法（直角坐标、极坐标）：理解三重积分的概念及物理意义；理解三重积分的性质；掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）：理解“微元法”的思想，会用重积分解决一些几何、物理及力学中的某些简单应用问题（平面图形的面积空间曲面面积、立体体积、物体的质量、质心转动惯量、引力等）.教学重点：二重积分、三重积分的计算。教学难点：二重积分的定义，确定二、三次积分的积分限第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设一个立体的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于=轴的柱面，它的顶是曲面==J(x,y)，这里的f(x,y)≥0且在D上连续(图8-1)，这种立体叫做曲顶柱体，现在我们来讨论如何来求这个曲顶柱体的体积V.=J(xy)J(x,y)f(x,y)(e.n)图8-1图8-2图8-3我们知道，对于二个平顶柱体的体积可以用公式体积=底面积×高来定义和计算：关于曲项柱体，当点（xy)在区域D上变动时，高度f(x,y)是个变量，因此它的体积不能直接用上式来定义和计算，但如果回忆起求曲边梯形面积的问题，就不难想到那里所采用的“分割、近似代替、近似求和、取极限”解决方法，原则上可以用来解决目前的问题，下面仿照求曲边梯形面积的求之分割：用任意曲线网格分割D为n个小区域Ao,Aα2,Ag（图8-2)．以它们为底把曲顶柱体分成n个小曲顶柱体，以<V表示第i个小曲顶柱体的体积，则
第八章 重积分 教学提示: 在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，本章和下一章是 多元函数积分学的内容．定积分这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情 形， 便得到重积分、 曲线积分及曲面积分的概念． 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概念、 计算法以及它们的一些应用． 教学要求：理解二重积分的概念、几何意义、物理意义；掌握二重积分的性质；掌握二重积分计 算方法（直角坐标、极坐标）；理解三重积分的概念及物理意义；理解三重积分的性质；掌握三重积分 的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解“微元法”的思想， 会用重积分解决一些几何、 物理及力学中的某些简单应用问题（平面图形的面积,空间曲面面积、 立体体积、物体的质量、质心转 动惯量、引力等） ． 教学重点：二重积分、三重积分的计算． 教学难点: 二重积分的定义，确定二、三次积分的积分限． 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设一个立体的底是 xOy 平面上的有界闭区域 D ， 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 z = f (x, y) ，这里的 f (x, y) ³ 0 且在 D 上连续(图 81)，这种立体叫做曲顶柱 体．现在我们来讨论如何来求这个曲顶柱体的体积V ． 图 81 图 82 图 83 我们知道，对于一个平顶柱体的体积可以用公式 体积= 底面积¥ 高 来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(x, y) 在区域 D 上变动时，髙度 f (x, y)是个变量，因此它的体积不 能直接用上式来定义和计算．但如果回忆起求曲边梯形面积的问题，就不难想到那里所采用的 “分割、 近似代替、近似求和、取极限” 解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．下面仿照求曲边梯形面 积的求之． 分割：用任意曲线网格分割 D 为 n 个小区域 1 2 , , , ( Ds Ds L Ds n 图 82 ) ．以它们为底把曲顶柱体分 成 n 个小曲顶柱体， 以DVi 表示第i 个小曲顶柱体的体积，则
240第八章重积分V-ZAV.1近似代替：在Ag,中任取一点（5,n），由于在闭区域Ao,内f(5,n）的变化很小，小曲顶柱体可看成小平顶柱体（图8-3)，因而以这个平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积，即AV,=f(5,n)Ao,i=1,2,",n近似求和：整个曲顶柱体的体积近似地等于n个小平顶柱体的体积之和，即V=AV,-(5,n)A0,.正取极限：显然，曲线网格越细密，和式之(5,n)Ao，就越接近曲项柱体的体积V.令小闭区域Ao,=的直径（△g，上任意两点间距离的最大值)为△2（i=1,2.….n)并记=max42,42..42..当曲线网格越细密，即→0时，有V=limZf(5,n,)Ao, .i=l2.非均匀平面薄片的质量设有一密度不均匀平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点（x,y）处的面密度为μx,J)，这里μ(x,J)>0且在D上连续，现在要计算该平面薄片的质量M.我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式质量=面密度×面积来计算，但现在的面密度u(x,")为变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算．但是上面用来处理曲顶柱体体积问题的“分割、近似代替、近似求和、取极限”方法完全适用于本问题，分割：用任意曲线网格分割D为n个小闭区域Ao,Ao2,,A，（图8-4).以Ac,既代表第i个小薄片又代表其闭区域的面积，以△M，代表小薄片△，的质量，则M=ZAM,Y4.n)Aaot图8-4近似代替：在△g中任取一点（5,n），由于在闭区域△g内面密度μs,n）的变化很小，可近似地看作是均匀的，因而以u(5,n)Ac,近似代替小薄片的质量AM，即AM,=μ(5,n,)Ao,,i=1,2,...,n近似求和：整个薄片的质量近似地等于n个小薄片的质量之和，即M~(Sin)Ao=l取极限：显然，曲线网格越细密，和式u(5i,n.)Ac,就越接近整个薄片的质量M.令小闭区域△o,的直径为i=1,2,,n)，并记=max(,")．当曲线网格越细密，即→0时，有
240 第八章 重积分 1 = . n i i V V = ÂD 近似代替：在Ds i 中任取一点( , ) i i x h ，由于在闭区域Ds i 内 ( , ) i i f x h 的变化很小，小曲顶柱体可看 成小平顶柱体(图 83)，因而以这个平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积，即 ( , ) , Vi i i i D ª f x h Ds i = 1,2,L ,n . 近似求和：整个曲顶柱体的体积近似地等于n 个小平顶柱体的体积之和，即 1 1 = ( , ) n n i i i i i i V V f x h s = = ÂD ª Â D ． 取极限：显然，曲线网格越细密，和式 1 ( , ) n i i i i f x h s = Â D 就越接近曲顶柱体的体积V . 令小闭区域 Ds i 的直径( Ds i 上任意两点间距离的最大值)为Δli (i = 1,2,L ,n) , 并记 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ．当曲线网 格越细密，即l Æ 0 时，有 0 1 lim ( , ) n i i i i V f l x h s Æ = = Â D ． 2．非均匀平面薄片的质量 设有一密度不均匀平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D ，它在点(x, y) 处的面密度为 μ (x, y) ，这里 μ (x, y) > 0 且在 D 上连续，现在要计算该平面薄片的质量M ． 我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式 质量= 面密度¥ 面积 来计算．但现在的面密度 μ (x, y) 为变量，薄片的质量就不能直接用上式来计箅．但是上面用来处理曲 顶柱体体积问题的“分割、近似代替、近似求和、取极限”方法完全适用于本问题． 分割：用任意曲线网格分割 D 为 n 个小闭区域 1 2 , , , Ds Ds L Ds n （图 84）．以Ds i 既代表第i 个小 薄片又代表其闭区域的面积，以DMi 代表小薄片Ds i 的质量，则 1 = . n i i M M = ÂD 图 84 近似代替：在Ds i 中任取一点( , ) i i x h ，由于在闭区域Ds i 内面密度 ( , ) i i μ x h 的变化很小，可近似地 看作是均匀的，因而以 ( , ) i i i μ x h Ds 近似代替小薄片的质量DMi ，即 ( , ) , M i i i i D ª μ x h Ds i = 1,2,L ,n . 近似求和：整个薄片的质量近似地等于n 个小薄片的质量之和，即 1 ( , ) . n i i i i M μ x h s = ª Â D 取极限：显然，曲线网格越细密，和式 1 ( , ) n i i i i μ x h s = Â D 就越接近整个薄片的质量M .令小闭区域Ds i 的直径为Δli (i = 1,2,L ,n) , 并记 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ．当曲线网格越细密，即l Æ 0 时，有
241第一节二重积分的概念与性质M =lim Zu(5i,n,)Ao, .101s上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限，在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限，因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义，3．二重积分的定义定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将D分成n个小闭区域，用Ao,(i=1,2,,n)代表第i个小闭区域，也代表它的面积，在每个Ao,中取点(5,n)，作乘积f(5,n)Ao,，并求和(5,n,)Ao,记表示A,的直径，且=max(A,,A).如果极限lim(5,n)A,存在，i=l0=且与D的分割方法及(5,n)的取法无关，则称f(x,y)在D上可积，并称此极限为f(x,J)在D上的的二重积分，记作f(xy)da，即JJ f(x,y)do=lim(5,n)Ao,,10D其中f(x,y)称为被积函数，do称为面积元素，D称为积分区域，f(x,y)d叫做被积表达式，x与y之(5,n)Ao,称为积分和.称为积分变量，i=1在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域（图8-5）Jt4a92-Ax图8-5设矩形闭区域A,的边长为Ax,和Ayx，则Ac,=AxAy·因此在直角坐标系中，有时也把面积元素do记作dxdy，而把二重积分记作[[ (x, y)da = J] f(x, y)dxdy ,0其中dxdv叫做直角坐标系中的面积元素，这里需要指出，当函数(x,J)在闭域D上连续时，积分和的极限必存在，也就是说，函数f(x,y)在D上的二重积分存在：我们总假定函数f(x,y)在闭域D上连续，所以f(x,J)在D上的二重积分存在，以后的讨论中不再每次说明，利用二重积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表示如下：以曲面z=f(xy）（f(x,y)≥O)为顶，xOy平面内的有界区域D为底的曲顶柱体的体积V=[f(x,y)da .D密度为μ(x,)的平面薄片D的质量M=u(x,y)d
第一节 二重积分的概念与性质 241 0 1 lim ( , ) n i i i i M μ l x h s Æ = = Â D ． 上面两个问题的实际意义虽然不同， 但所求量都归结为同一形式的和的极限，在物理、力 学、 几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限， 因此我们要一般地研究 这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义． 3．二重积分的定义 定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将 D 分成 n 个小闭区域，用 Ds i (i =1,2,××× ,n) 代表 第 i 个小闭区域，也代表它的面积，在每个 Ds i 中取点 ( , ) i i x h ，作乘积 ( , ) i i i f x h Ds ，并求和 1 ( , ) n i i i i f x h s = Â D ． 记Δli 表示Ds i 的直径， 且 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ． 如果极限 0 1 lim ( , ) n i i i i f l x h s Æ = Â D 存在， 且与 D 的分割方法及( , ) i i x h 的取法无关，则称 f (x, y)在 D 上可积，并称此极限为 f (x, y)在 D 上的的二 重积分，记作 ( , ) D f x y ds ÚÚ ，即 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i D i f x y d f l s x h s Æ = = Â D ÚÚ ， 其中 f (x, y)称为被积函数，ds 称为面积元素， D 称为积分区域， f (x, y)ds 叫做被积表达式， x 与 y 称为积分变量， 1 ( , ) n i i i i f x h s = Â D 称为积分和． 在二重积分的定义中对闭区域 D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网 来划分 D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外 ( 求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的 极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计) ，其余的小闭区域都是矩形闭区域( 图 85 ) ． 图 85 设矩形闭区域 Ds i 的边长为Δ i x 和 Δ k y ，则 i = Δ i Δ k Ds x × y ．因此在直角坐标系中，有时也把面积 元素ds 记作 dxdy ，而把二重积分记作 ( , ) = ( , ) D D f x y dσ f x y dxdy ÚÚ ÚÚ ， 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素． 这里需要指出，当函数 f (x, y) 在闭域 D 上连续时，积分和的极限必存在，也就是说，函数 f (x, y)在 D 上的二重积分存在．我们总假定函数 f (x, y)在闭域 D 上连续，所以 f (x, y)在 D 上的二重 积分存在，以后的讨论中不再每次说明． 利用二重积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表示如下： 以曲面 z = f (x, y) ( f (x, y) ³ 0) 为顶， xOy 平面内的有界区域 D 为底的曲顶柱体的体积 ( , ) D V = f x y ds ÚÚ ． 密度为 μ (x, y) 的平面薄片 D 的质量 ( , ) D M = μ x y ds ÚÚ ．
242第八章重积分4.二重积分的几何意义一般的，如果f(x,J)≥0，被积函数f(x,J)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,J)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差。二、二重积分的性质从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质性质1运算的线性性）设α，β为常数，则[αf(x,y)+ βg(x, y)]da=α[ f(x,y)da +β[[g(x, y)da .DD性质2(二重积分对区域的可加性）如果积分区域D可以分解成，D和D,两个部分，则：[ f(x,y)da=Jf f(x,y)da+[[f(x,y)do二重积分对区域的可加性可以把它推广至多个部分。性质3当被积函数(x,)=1时，二重积分的值等于区域的面积，即区域D的面积A=[Jd性质4如果在D上f(x,y)≤p(x,y)，则有[f(x,y)d≤[[o(x,y)d'DD性质5（二重积分的估值定理）如果f(x,y)在D上的最大值和最小值分别为M和m，区域D的面积为A，则mA≤[[(x,y)dg≤MA .性质6（二重积分的中值定理）设f(x,y)在D上连续，则在D上至少存在一点(5,n)，使[Lf(x,y)do= f(5,n)-A.D证由性质5可得：-([ f(x, y)do≤M ,n<AD由于二[f(x,y)do是介于m和M之间的数值.由闭域上连续函数的介值定理可知：在D上至少存在A一点(5,n)，使f(x,y)daf(5,n)这个值也是f(x,J)在D上的平均值.例1设f(x,y)在区域上可积，求证[(xy)da[f(x,y)dD证在D上f(x,)≥0或f(x,j)≤0时，有[[(x,y)da≥0或[[(x,)d≤0D-(x,y)f(x,y)≤(x,y)
242 第八章 重积分 4．二重积分的几何意义 一般的，如果 f (x, y) ³ 0 ，被积函数 f (x, y)可解释为曲顶柱体的顶在点 (x, y) 处的竖坐标，所以二 重积分的几何意义就是柱体的体积.如果 f (x, y)是负的，柱体就在 xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍 等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 f (x, y)在 D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部 分区域上是负的，那么 f (x, y)在 D 上的二重积分就等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy 面下方的柱体 体积所得之差． 二、二重积分的性质 从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量， 且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有 关性质. 性质 1 (运算的线性性) 设a ， b 为常数，则 [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) D D D a f x y + b g x y ds =a f x y ds + b g x y ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ． 性质 2 (二重积分对区域的可加性) 如果积分区域 D 可以分解成， D 1和 D 2 两个部分，则： 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y ds = f x y ds + f x y ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ． 二重积分对区域的可加性可以把它推广至多个部分． 性质 3 当被积函数 f (x, y) = 1时，二重积分的值等于区域的面积，即区域 D 的面积 D A = ds ÚÚ ． 性质 4 如果在 D 上 f (x, y) £ j(x, y) ，则有 ( , ) ( , ) D D f x y ds £ j x y ds ÚÚ ÚÚ ． 性质 5 (二重积分的估值定理) 如果 f (x, y)在 D 上的最大值和最小值分别为M 和 m ，区域 D 的面 积为 A ，则 ( , ) D mA £ f x y ds £ MA ÚÚ ． 性质 6 （二重积分的中值定理）设 f (x, y)在 D 上连续，则在 D 上至少存在一点(x,h) ，使 ( , ) ( , ) D f x y ds = f x h × A ÚÚ ． 证 由性质 5 可得： 1 ( , ) D m f x y d M A £ s £ ÚÚ ， 由于 1 ( , ) D f x y d A s ÚÚ 是介于 m 和 M 之间的数值．由闭域上连续函数的介值定理可知：在 D 上至少存在 一点(x,h) ，使 1 ( , ) ( , ) D f f x y d A x h = s ÚÚ ， 这个值也是 f (x, y)在 D 上的平均值． 例 1 设 f (x, y)在区域 D 上可积，求证 ( , ) ( , ) D D | f x y ds |£ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ． 证 在 D 上 f (x, y) ³ 0 或 f (x, y) £ 0 时，有 ( , ) 0 D f x y ds ³ ÚÚ 或 ( , ) 0 D f x y ds £ ÚÚ ， - | f (x, y)|£ f (x, y) £| f (x, y)|．
243第一节二重积分的概念与性质故有Jjif(x,y)]da≤[] f(x,y)da≤Jj1f(x, )Ida,即I[ (x, y)do≤ [ 1f(x, y)]do .例2求f(x)=R-x2-在区域D：x+≤R上的平均值解由二重积分的几何意义可知，{(x,)d是半个球体的体积，其值为元R3．D的面积3A=元R2.故在D上，f(x,y)的平均值为2RF(x, y)da=f(E,n)=AJ33．对称区域上奇偶函数的积分性质定理4设f(x,y)在有界闭域D上连续,若D关于x轴对称，则[o,f(x,y)对y为奇函数[f(x,y)da=2 [[ (x, y)do,f(x,y)对y为偶函数其中D为D在x轴的上半平面部分定理5设f(x,J)在有界闭域D上连续,若D关于y轴对称，则[o,f(x,y)对x为奇函数(/f(x,y)da =2[[f(x,y)do,f(x,y)对x为偶函数其中D,为D在y轴的右半平面部分定理6设f(x,J)在有界闭域D上连续,若D关于原点对称，则[0,f(-x,-y)=-f(x,y),(x,y)e D,J(x,y)d =2[(x,y)do,f(-x,-y)= f(x,y),(x,y)e D,DD其中D为D的上半平面或右半平面定理7设f(x,J)在有界闭域D上连续，若D关于直线y=x对称，则J (x,y)da= J (y,x)doD若D=D,UDs,D4,D,分别为D在y=x的上方与下方部分,则Jf f(x, y)dg = Jf f(y,x)doD.D
第一节 二重积分的概念与性质 243 故有 ( , ) ( , ) ( , ) D D D - | f x y |ds £ f x y ds £ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ， 即 ( , ) ( , ) D D | f x y ds |£ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ． 例 2 求 2 2 2 f (x, y) = R - x - y 在区域 D ： 2 2 2 x + y £ R 上的平均值． 解 由二重积分的几何意义可知， ( , ) D f x y ds ÚÚ 是半个球体的体积，其值为 2 3 3 p R ． D 的面积 2 A = pR ．故在 D 上， f (x, y) 的平均值为 1 2 ( , ) ( , ) 3 D f f x y d R A x h = s = ÚÚ ． 3．对称区域上奇偶函数的积分性质 定理 4 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于 x 轴对称，则 1 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) D D f x y y f x y d f x y d f x y y s s Ï Ô = Ì Ô Ó ÚÚ ÚÚ 对 为奇函数 对 为偶函数 其中 D 1为 D 在 x 轴的上半平面部分. 定理 5 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于 y 轴对称，则 2 0, ( , ) ( , ) 2 ( , ) , ( , ) D D f x y x f x y d f x y d f x y x s s Ï Ô = Ì Ô Ó ÚÚ ÚÚ 对 为奇函数 对 为偶函数 其中 D 2 为 D 在 y 轴的右半平面部分. 定理 6 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于原点对称，则 3 0, ( , ) ( , ),( , ) , ( , ) 2 ( , ) , ( , ) ( , ),( , ) , D D f x y f x y x y D f x y d f x y d f x y f x y x y D s s Ï - - = - Œ Ô = Ì - - = Œ Ô Ó ÚÚ ÚÚ 其中 D 3 为 D 的上半平面或右半平面. 定理 7 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于直线 y = x 对称，则 ( , ) ( , ) D D f x y ds = f y x ds ÚÚ ÚÚ 若 D = D4 U D5 , D4 , D 5 分别为 D 在 y = x 的上方与下方部分,则 4 5 ( , ) ( , ) D D f x y ds = f y x ds ÚÚ ÚÚ