要特性。例5求函数y=log。x(a>0,a1)的导数。log.(x+h)-log.x解：J'=limh1hlogx=limhh-→>0xxh)limloga1+-log.ex)x h→0x(log, x) -|log.e(Inx) =即x[x, x<1例 6 讨论()=在点x=1连续性与可导性2x,x≥1解: lim f(x)=1, lim f(x)= 2：f(x)在x=1不连续，即f(x)在x=1不可导。x? +1, x<1例 7 讨论f(x):在点x=1连续性与可导性2x,x≥1f(x)- f@)x2 +1-2解：：f()=lim-= limx-1r-1→1x-1f(x)-f(l) 2x-2= lim '(0)= lim=x-1x-1 x-1：f()=2，f(x)在x=1可导，当然在x=1点连续。1x±0xsin-例8讨论函数f(x)=在点x三0处的连续性与可导性x0,x=0-1解：sin一是有界函数，.limxsin-=0xx→0x：f(o)=lim(x)=0：.f(x)在x=0处连续48
48 要特性。 例5 求函数 y xa a = log 0, 1 a ( ) > ≠ 的导数。 解： ( ) ' 0 log log lim a a h x h x y → h + − = 0 log 1 1 = lim a h h x h x x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⋅ 0 1 1 lim log 1 log x h a a h h e x xx → ⎛ ⎞ = += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 即 ( ) ( ) ' ' 1 1 log log lnx a a x e x x = = 例 6 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 2 1 1 2 x x x x f x ， ， 在点 x = 1连续性与可导性 解： lim () () 1 lim 2 1 1 = = → − → + f x f x x x ∵ ， ∴ f ( ) x 在 x = 1不连续，即 f (x)在 x = 1不可导。 例 7 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + < = 2 1 1 1 2 x x x x f x ， ， 在点 x = 1连续性与可导性 解： ( ) ( ) () 2 1 1 2 lim 1 1 1 lim 2 1 1 = − + − = − − ′ = − → − → − x x x f x f f x x ∵ ( ) ( ) () 2 1 2 2 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − = − − ′ = + → + → + x x x f x f f x x ∴ f ′() ( ) 1 = 2，f x 在 x = 1可导，当然在 x = 1点连续。 例 8 讨论函数 ( ) 1 sin 0 0 0 x x f x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = ， ， 在点 x = 0 处的连续性与可导性 解： 1 sin x ∵ 是有界函数， 0 1 lim sin 0 x x → x ∴ = () () ( ) 0 0 lim 0 x f fx fx → ∵ = =∴ 在 x = 0 处连续
0(0 +Ax)sin在x=0处4y-0+AxsinAxAxAxAy在-1和1之间振荡而极限不存在。当Ar→0时，Arx≤1,例 9 讨论f(x):2-x, x>1解: : lim f(x)= lim x =1, lim f(x)= lim(2-x)=1：F(x)在x=1连续: F()= lim ()-10)x-1=limx-1-rx-17f(x)- f(0)2-x-1f()= limJimx-1x-1.f(x）在x=1不可导。(xo +h)- f(x。- h)例10已知f(x）=A，求limhf(x +h)-f(xo -h)解：limhT[f(x +h)- f(x)]-[f(xo-h)- f(x))= limhh0[f(xo +h)- f(xo) J(xo -h)- f(xo)= limhh-0-h=2f(x)=2Af(2x)-1例11已知f(0)=1，lim4，求f(0)3x4f(2x)-1f(2x)- f()2 f(2x)-f()2解：limlimlimf'(0)= 43x3xx→0 32x3x->0x→0.. F(0)= 6小结：本节讲述了导数的定义导数的几何意义可导与连续之间的关系作业：49
49 在 x = 0 处 ( ) 1 0 sin 0 0 1 sin , x y x x x x +Δ − Δ + Δ = = Δ Δ Δ 当 Δ →x 0时， y x Δ Δ 在-1 和 1 之间振荡而极限不存在。 例 9 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = 2 1 1 x x x x f x ， ， 解： lim ( ) lim 1 lim ( ) lim(2 ) 1 1 1 1 1 = = = − = → − → − → + → + f x x f x x x x x x ∵ ， ∴ f ( ) x 在 x = 1连续 ( ) ( ) () 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − = − − ′ = − → − → − x x x f x f f x x ∵ ( ) ( ) () 1 1 2 1 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − − − = − − ′ = + → + → + x x x f x f f x x ∴ f ( ) x 在 x = 1不可导。 例 10 已知 f ′(x0 ) = A ，求 ( ) ( ) h f x h f x h h + − − → 0 0 0 lim 解： ( )( ) h f x h f x h h + − − → 0 0 0 lim [ ] ( ) () [ ( ) ( )] h f x h f x f x h f x h 0 0 0 0 0 lim + − − − − = → ( ) () ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + − = → h f x h f x h f x h f x h 0 0 0 0 0 lim = 2 f ′( ) x0 = 2A 例 11 已知 f ( ) 0 = 1， ( ) 4 3 2 1 lim 0 = − → x f x x ，求 f ′(0) 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 3 2 2 2 1 3 2 lim 3 2 1 lim 3 2 1 lim 0 0 0 = ′ = − = ⋅ − = − → → → f x f x f x f x f x f x x x x ∵ ∴ f ′( ) 0 = 6 小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系, 作业：
$2.2函数的求导法则教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：一、函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。(1) [u(x)±v(x)/ = u'(x)±v(x)(2) [u(x).v(x)/ =u(x)(x)+u(x) (x)[cu(x)] = cu'(x)(uw)=u'w+w'w+w[u(a]u(x)(x)-u(x)(x)(3)(x)v2 (g)这里仅证（2)()=lim (x+h)-()h4u(x+h)(x+h)-u(x)(x)= limhh-→0I[u(x + h)(x+h)-u(x) (x + h) + u(x)(x + h)-u(x)(x)=lim-h-→0 h[+)(+h)+2()+) limlhhh-→0u(x+ h)-u(x)2. m(++h)+ ()m+h))= limh-0hh=u(x)(x)+ u(x) (x)例1求y=x-2x2+sinx的导数。解：y=3x2-4x+cosx.例2求y=sin2x·lnx的导数。解：50
50 §2.2 函数的求导法则 教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函 数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点：反函数求导 教学内容： 一、函数和、差、积、商的求导法则 根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。 （1）[ ] u() () x v x = u′() () x ± v′ x ′ ± （2）[ ] u() () x v x = u′( )( ) ( ) ( ) x v x + u x v′ x ′ ⋅ [ ] cu( ) x = cu′( ) x ′ ( ) uvw = u′vw+ uv′w + uvw′ ′ （3） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) v ( ) x u x v x u x v x v x u x 2 ′ − ′ = ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 这里仅证（2） ( ) ( ) () h f x h f x f x h + − ′ = →0 lim ( )( ) ( ) ( ) h u x h v x h u x v x h + + − = →0 lim [ ] u( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h = + + − + + + − → 1 lim 0 ( ) () ( ) () ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ + + ⋅ + − = → h v x h v x v x h u x h u x h u x h 0 lim ( ) () ( ) () ( ) ( ) h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h + − ⋅ + + ⋅ + − = →0 →0 →0 lim lim lim = u′( )( ) ( ) ( ) x v x + u x v′ x 例 1 求 3 2 y =− + xx x 2 sin 的导数。 解： 2 y′ = −+ 3 4 cos . xx x 例2 求 y xx = ⋅ sin 2 ln 的导数。 解：
:y=2sinx-cosx-lnxy=2cosx-cosx-lnx+2sinx-(-sinx)-lnx+2sinx.cosx31=2cos2xlnx+=sin2xx例3y=tanx，求y。) cosx-sin x(cosx)(sinx)sinx解：y'=(tanx)cos"xcos.x- cosx+sin* x1=sec?x,cosxcosx即(tan x) = sec’ x 。这就是正切函数的导数公式。例4y=secx，求y。(0) cosx -1 (cosx)sinx解：y=(secx)=secxtanx,cosxcosxcos.x即(secx)= secxtanx。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：(cot x) = -csc? x,(cscx)=-cscxcotx。二、反函数的导数：孝山dx1则一存在且不为零，。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反ddxdx函数的导数。例5设x=siny为直接函数，则y=arcsinx是它的反函数。函数x=siny在开区间)内单调、可导，且(sin）=cosy>0。因此，由公式会=六元元，在对应dd23dx11。但cosy=i-siny=/i-x2（因区间/，=(-1,1)内有(arcsinxcosy(sin y)51
51 ( ) ' 2sin cos ln 1 2cos cos ln 2sin sin ln 2sin cos 1 2cos 2 ln sin 2 y x xx y x xx x x x x x x xx x x = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∵ 例 3 y = tan x，求 y′ 。 解： ( ) () ( ) x x x x x x x y x 2 cos sin cos sin cos cos sin tan ′ − ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =′ ′ = x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin = = + = ， 即 ( ) x x 2 tan = sec ′ 。 这就是正切函数的导数公式。 例 4 y = sec x ，求 y′ 。 解： ( ) () ( ) x x x x x x x x y x sec tan cos sin cos 1 cos 1 cos cos 1 sec 2 2 = = ′ − ⋅ ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =′ ′ = ， 即 ( ) sec x = sec x tan x ′ 。 这就是正割函数的导数公式。 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： ( ) x x 2 cot = −csc ′ ， ( ) csc x = −csc x cot x ′ 。 二、反函数的导数： 若 dx dy 存在且不为零，则 dx dy dy dx 1 = 。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反 函数的导数。 例 5 设 x = sin y 为直接函数，则 y = arcsin x 是它的反函数。函数 x = sin y 在开区间 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 π π IY ， 内单调、可导，且( ) sin = cos > 0 ′ y y 。因此，由公式 dx dy dy dx 1 = ，在对应 区间 I x = ( ) −1，1 内有( ) ( ) y y x cos 1 sin 1 arcsin = ′ =′ 。但 2 2 cos y = 1− sin y = 1− x （因
T元为当一元时，COSy>O，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式：<y<-221(arcsinx)Vi-x?用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：1(arcsin x)Vi-x2同样我们可得到I(arctanx)1+ x21(arccotx) =1+ x2I(log. x)-xlna三、求导基本训练(1)y=sinxlnx(2) y=x sine(3)y=2*+ln元(4)y=2*e元Cr?(5) y=a+bInx(6)y=sinx小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：52
52 为当 2 2 π π − < y < 时，cos y > 0 ，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式： ( ) 2 1 1 arcsin x x − =′ 用类似的方法可得反余弦函数的导数公式： ( ) 2 1 1 arcsin x x − = − ′ 同样我们可得到 ( ) 2 1 1 arctan x x + =′ ( ) 2 1 1 cot x arc x + = − ′ ( ) x a x a ln 1 log =′ 三、求导基本训练 （1） y = sin x ln x （2） y x sin e 2 = （3） = 2 + lnπ x y （4） x x x y = 2 e π （5） a b cx y + = 2 （6） x x y sin ln = 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法 作业：