4. 4定积分的概念和基本性质一、定积分问题举例h矩形面积=αhah梯形面积=b(a+ba2h1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线yFxy= f(x) (f(x)≥0)S=?及x轴，以及两直线x=α,x=b0a所围成，求其面积S.b x
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 S . S = ? y f x = ( ) 矩形面积 梯形面积 y O a b x 4.4 定积分的概念和基本性质 一、定积分问题举例
解决步骤：1)分割．把区间[α,bl任意分成n个小区间,分点为a = Xo <Xi < X2 <...<Xn-1 < Xn = b用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形记它们的面积分别为AS,AS,,,△Sn2)代替。在第i个窄曲边梯形上任取SiE[xi-1,xi]y作以[xi-1,x,]为底，f()为高的小矩形，并以此来近似代替相应窄曲边梯形面积△S得 AS, ~ f(5)Ax, (Ax,=x,-x- a xibxXi-1 Xi5ii=1,2,.,n)
1x i x i−1 a x y O 1) 分割. 把区间 [a , b] 任意分成 n 个小区间,分点为 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] i i 1 i x x − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 代替. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( ) i f 为高的小矩形, 并以此来近似 代替相应窄曲边梯形面积 1 ( ) ( ) i i i i i i S f x x x x = − − i 1 2 , , , . n 记它们的面积分别为 S S S 得 解决步骤 :
3)求和：将n个小矩形的面积加起来,就得到曲边梯形面积S的近似值。S=AS, ~ f(5)Ax, =0.i-1i=14)取极限当把[αa,b]分的足够细时,不管中间点怎么选取,和数。可以任意接近曲边梯形面积S令 =max[△x,}表示小区间中最大者则当→0时,和数的极限就是曲边梯形面积S,即nZf(5)Ax;S = limCa xibxXi-1 Xi10i=15i
1 n i i S S = = 1 ( ) . n i i i f x = = 4) 取极限. 令 0 1 lim ( ) n i i i S f x → = = 1x i x i−1 a x y O i , n S 将 个小矩形的面积加起来 就得到曲边梯形面积 的近似值 [ , ] , , . a b S 当把 分的足够细时 不管中间点怎么选取 和数 可以任意接近曲边梯形面积 1 max{ } , i i n x = 表示小区间中最大者 0 , S, 则当 → 时 和数 的极限就是 曲边梯形面积 即 3) 求和:
2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度 V=v(t)在[T,T,]上连续,且v(t)≥0,求在这段时间内物体所经过的路程 s.解决步骤：1分割.在[T,T,1中任意插入n-1个分点T =to<ti <tz<...<tn-1<tn =T2将它分成n个小段[ti-1,t;](i=l,2,,n),在第i个小段上物体经过的路程为△s;(i=1,2,,n)2) 代替。任取; E[ti-1,ti],以v(s,)代替变化的速度v(t)得△si ~ v(5)Ati(i =l, 2,...,n)
设某物体作直线运动, 且 求在这段时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 2) 代替. 得 i i i s v( )t (i =1, 2, ,n) 已知速度 将它分成n 个小段 在第i 个小段上物体经过的路程为 1 2 v v t T T = ( ) [ , ] , 在 上连续 1 2 1 0 1 2 1 2 [ , ] 1 , n n T T n T t t t t t T − − = = 在 中任意插入 个分点 以v v t ( ) , i 代替变化的速度 ( ) 2. 变速直线运动的路程
3)求和.把这些近似值加起来就得到总路程s的一个近似值：nZv(5)At, = 0.s~i14)取极限。将区间T,T,无限细分下去,使得每个△t,→0(i=l,,n),和数的极限就是总路程s:n(a = max △t,)s = limZv(si)Ati<i<n2>0=1
4) 取极限 . 把这些近似值加起来, : 就得到总路程s的一个近似值 1 2 [ , ] , 0 ( 1, , ), : T T ti i n s → = 将区间 无限细分下去 使得每个 和数 的极限就是总路程 3) 求和