第四模块函数的积分学84一10二重积分的概含与性质应用数学第四模块函数的积分学第十节一重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、一重积分的性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 第四模块 函数的积分学 第十节 二重积分的概念与性质
第四模块函数的积分学84一10二重积分的概含与性质一、二重积分的概念应用数学1. 引例例 1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xv面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，顶是由0二元非负连续函数z=f（x,y）D所表示的曲面.这个立体称为xD上的曲顶柱体试求该曲顶柱体的体积
一、二重积分的概念 例 1 曲顶柱体的体积. 设有一立体的底是 xy 面 上的有界闭区域 D，侧面是 以 D 的边界曲线为准线、母 线平行于 z 轴的柱面，顶是由 二元非负连续函数 z = f (x, y) 所表示的曲面. 这个立体称为 D 上的曲顶柱体. 试求该曲顶柱体的体积 . 1. 引例 D x y z O
第四模块函数的积分学4-10二重积分的概含与性质应用数学解（1）分割．将区域D任意分成n个小区域称为子域：Aoi,Ao2，·….，Aon，并以 Ao;(i=1, 2,·，n）表示第i个子域的面积然后对每个子域作以它的边界曲线为准线、母线平行z轴的柱面．这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n个小曲顶柱体顶购理动画
称为子域：1 , 2 , ···, n , 并以 i (i = 1, 2, ·· ·, n)表示第 i 个子域的面积， (1) 分割. 将区域 D 任意分成 n 个小区域， 然后对每个子域作以它的 边界曲线为准线、母线平行 z 轴的柱面. 这些柱面就 把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体. 解 曲顶柱体的体积
第四模块函数的积分学64-10二重积分的概含与性质（2）近似．在每个小曲顶柱体的底△α，上任取一应用数学点 (si, n) (i= 1, 2, .., n)用以f(si, n) 为高、△o; 为底的平顶柱体的体积f（E，n）△o;，近似替代第i个小曲顶柱体的体积，即(En.(En))AV; ~ f(i,ni) Ao;(E.n)AoiD
(2) 近似. 在每个小曲顶柱体的底 i 上任取一 点 (i , i ) (i = 1, 2, ···, n)，用以 f (i , i ) 为高、i 为 底的平顶柱体的体积 f (i , i) i ，近似替代第 i 个 小曲顶柱体的体积，即 Vi f (i ,i ) i
第四模块函数的积分学54-10二重积分的概含与性质(3）求和．将这n个小平顶柱体的体积相加，得应用数学到原曲顶柱体体积的近似值，即V-EAV,~f(5,nAo.i=11（4）取极限．将区域D无限细分且每一个子域趋向于缩成一点，这个近似值就趋向于曲顶柱体的体积，即Zf(5i,n,)Ao,V = lim2-0i-1其中入是这n个子域的最大直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值）
(3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得 到原曲顶柱体体积的近似值，即 ( , ) . 1 1 i n i i i n i i V =V f = = (4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体 积， 即 其中 是这 n 个子域的最大直径 (有界闭区域的直径 是指区域中任意两点间距离的最大值). lim ( , ) , 1 0 = → = n i i i i V f