第五节函数的微分义分孩台11?、 公式(去8高dy=fix)dx3°复含含数1.叔tx)52Cx入6. 对67.专数
第五节 函数的微分
微分的定义一、行实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量Ar(Ar)2Xo设边长由x.变到x。+△x，XoArAx：正方形面积A=x,.. A = (x + Ax)? - x?.2xoA=xXoAr= 2xo : △x +(△x)2(1)(2)(1)：△x的线性函数,且为△A的主要部分(2)：△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略
一、微分的定义 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如，设函数y=x在点x.处的改变量为△x时，求函数的改变量△yAy =(x + Ax)3 - x)= 3x) . Ax +3x (Ax)? +(Ax)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x),:. Ay ~ 3x? . Ax.既容易计算又是较好的近似值问题：这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有？它是什么?如何求？
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
0(x)sx>0C定义设函数y=f(x)在某区间内有定义Sx,及x+△x在这区间内，如果Ay = f(x + △x) - f(x) = A . △x + o(△x)禮了裁成立（其中A是与△r无关的常数)，则称函数y=f(x)在点x,可微，并且称A△x为函数y=f(x)在点x,相应于自变量增量Ax的微分记作dyx=x,或df(xo),即dy x=x。= A·△x.微分叫做函数增量y的线性主部（微分的实质）
定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
ay由定义知：(1) dy是自变量的改变量Ax的线性函数;(2)Ay-dy = o(△x)是比△x高阶无穷小dy= Aax(3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小;y = A-4x+ (sx)Ayo(△x)a>1 (x→0).dyA.△x(4) A是与△x无)关的常数,但与f(x)和x,有关; (线性主部)(5)当△x很小时,Ay~dyXt6xXdg= x(i+/nx)≤x}=(xtox) -x=×
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)