第二章习题课导数与微分导数和微分的概念及应用一、二、导数和微分的求法HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章
导数和微分的概念及应用1f(x+△x)- f(x)·导数: f'(x)= lim△x△x-0当 △x →0+时,为右导数f(x)当 △x →>0- 时,为左导数f'(x)· 微分 : df(x)= f'(x)dx·关系：可导可微（思考P125 题1）HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 导数和微分的概念及应用 • 导数 : x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 当 时,为右导数 当 时,为左导数 → + x 0 f (x) + → − x 0 f (x) − • 微分 : d f (x) = f (x)dx • 关系 : 可导 可微 ( 思考 P125 题1 )
·应用（1）利用导数定义解决的问题1)推出三个最基本的导数公式及求导法则(C)=0;(lnx)=l;(sin x)'= cos x其他求导公式都可由它们及求导法则推出2)求分段函数在分界点处的导数，及某些特殊函数在特殊点处的导数3）由导数定义证明一些命题(2)用导数定义求极限(3)微分在近似计算与误差估计中的应用HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 • 应用 : (1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用 (2)用导数定义求极限 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 C x x x x ( ) 0; (ln ) ; (sin ) cos 1 = = = 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题
例1.设 f(xo)存在,求f(xo +△x +(△x))- f(xo)lim△x△x-→>0解：f(xo +△x +(△x))- f(xo) △x +(△x)原式= lim△x +(x)?△x△x-→0= f'(xo)HIGHER EDUCATION PRESS上页下页目录返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1.设 ( ) 0 f x 存在,求 . ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 x f x x x f x x + + − → 解: 原式= + + − → x f x x x f x x ( ( ) ) ( ) lim 0 2 0 0 2 x + (x) 2 x + (x) ( ) 0 = f x
f(sin' x + cos x)例2.若f(1)=0 且f'(1) 存在,求 lim(e*-1)tan xx>0f(sin' x+ cosx原式= limX解：x-→0lim(sin~ x +cos x)=1 且f(l)= 0x-0联想到凑导数的定义式f(l+sinx+cosx-l)- f(l) sin2 x+cos x-1= limx-0sin' x + cos x -l=f()-(1-)=→f(1)HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2.若 f (1) = 0 且 f (1) 存在 , 求 . (e 1)tan (sin cos ) lim 2 0 x f x x x x − + → 解: lim(sin cos ) 1 2 0 + = → x x x 原式 = 2 2 0 (sin cos ) lim x f x x x + → 且 f (1) = 0 联想到凑导数的定义式 2 2 0 (1 sin cos 1) lim x f x x x + + − = → sin cos 1 2 x + x − sin cos 1 2 − f (1) x + x − = f (1) ) 2 1 (1− (1) 2 1 = f ~ x