多元函数微分学第二节偏导数与全微分
第二节 偏导数与全微分
第二节偏导数与全微分一.偏导数1.偏导数的定义定义设z=f(x,y)在点(xo,y)的某邻域内有定义,当y固定在y时，得一元函数 f(x,y)azl_aff(xo +△x,yo)- f(xo, yo)2 = f(xo, yo)=limx (c0,0) x (0.0)Ax-→>0Axz=f(x,y)在点(xo,yo)处对x的偏导数类似的,z=f(x,y)在点(xo,yo)处对y的偏导数azaff(xo, y + Ay)- f(xo, Jo) = f,(xo, o)=limayAy->0AydyT(xoyo）172
第二节 偏导数与全微分 一.偏导数 1.偏导数的定义 定义 设z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义,当y固定在 时, 得一元函数 , ( , ) 0 0 x y 0 y ( , ) 0 f x y x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 z=f(x,y)在点 (x0 , y0 ) 处对x的偏导数 ( , ) 0 0 f x y = x ( , ) 0 0 x y x z = ( , ) 0 0 x y x f = 类似的, z=f(x,y)在点 (x0 , y0 ) 处对y的偏导数 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y = y ( , ) 0 0 x y y z = ( , ) 0 0 x y y f =
注:(1).若二元函数z=f(x,v)在D内每一点都有偏导数,则此偏导数也是x,的函数-------偏导函数Oz af Oz affx fy...y.....Ox" ax'Qy" ay(2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元例如:u=f(x,y,z)f(xo +Ax,yo,zo)- f(xo,yo,zo)f.(xo, yo,zo)= limAxAr->0(3).由偏导数定义，一元函数的求导法则可用于求偏导数例如:求时,只要将y视为常数,求f(x,y)关于x的导数
注:(1).若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数,则此偏 导数也是 x,y 的函数-偏导函数. , , , ,. x y x y f f z z , , , ,. y f y z x f x z (2).二元函数偏导数定义可以推广到更多元. 例如: u=f(x,y,z) x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3).由偏导数定义,一元函数的求导法则可用于求偏导数. 例如:求 x 时,只要将y视为常数,求 f(x,y)关于 x 的导数. f
求 f,(0,1) f,(0,2)例1. f(x,y)=x+y-yx? +y?xZf, =1-=1Tx?+ y2/x2 + y2f,(0,2) = 0: f(0,1)=1,求偏导数u=zy例2.auauauXyz-1z(ln z)xz(lnz)yayzaxxy2,x2+y+0例3. f(x,y)= x? + y求 f,(0,0),(0,0)0,x?+y?=0f(0 + △x,0)- f(0,0)分段点处偏导) = limf.(0,0)-0AxAx->0数要用定义求f(0,0+△y) - f(0,0)f,(0,0) = lim0Ay-0Ay
例1. 2 2 f (x, y) = x + y − x + y 求 (0,2) y (0,1) f x f 2 2 1 x y x f x + = − 2 2 1 x y y f y + = − (0,1) =1, x f f y (0,2) = 0 例2. xy u = z 求偏导数 y u z u x u z z y xy = (ln ) z z x xy = (ln ) −1 = xy xyz + = + = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y 例3. f x y 求 (0,0) y (0,0) f x f 分段点处偏导 数要用定义求 (0,0) x f 0 (0 ,0) (0,0) lim 0 = + − = → x f x f x (0,0) y f 0 (0,0 ) (0,0) lim 0 = + − = → y f y f y
例4．f(x,J)=xl+lyl在(0,0)点是否连续?是否有偏导数？lim f(x,y)=0=f(0,0) 故在(0,0)点连续XUV-0由定义易知在(0.0)点偏导数不存在注意：对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系2.偏导数的几何意义f(xo,o）表示曲面z=f(x,y)与平面=yo的交线L在点M。(xo,yo,f(xo,yo)处的切线M.T、对x轴的斜率tanαf（xo,yo）表示曲面z=f(x,y)与平面x=x的交线L在点M(xo,yo,f(xo,)处的切线M。T,对y轴的斜率tanβ
例4. f (x, y) =| x | + | y | 在(0,0)点是否连续?是否有偏导数? lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 故在(0,0)点连续. 由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 ( , ) 0 0 f x y x 表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对x 轴的斜率 0 y = y ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y M0 Tx tan ( , ) 0 0 f x y y 表示曲面z=f(x,y)与平面 的交线L在点 处的切线 对y 轴的斜率 0 x = x ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y M 0 Ty tan