第四节函数单调性与凹凸性导数符号与单调性单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤小结、作业1/21
第四节 函数单调性与凹凸性 • 导数符号与单调性 • 单调性的判定步骤 • 凹凸与拐点的定义 • 二阶导数符号与凹凸性 • 凹凸与拐点的判定步骤 • 小结、作业 1/21
导数符号与单调性一导AyB=f(x)y= f(x)BAxbbxf(x)<0f'(x) >0定理1设在区间I上连续，在I的内部可导．那么如果在I内部恒有f'>0，则f在I上单调增(1)(2)如果在I内部恒有f'<0，则f在I上单调减2/21
一、导数符号与单调性 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 a b B A 定理1 (2) 0 . (1) 0 I . 如果在 内 部恒 有 ， 则 在 上单调减 如果在 内 部恒 有 ， 则 在 上单调增； 设 在区 间 上连续，在 的 可 导 那 么 I f f I I f f f I I 内 部 2/21
证Vx、x,el,且x<x2'在[x1,x2]上应用拉氏中值定理，得f(x2)- f(x) = f()(x -x)(xi<≤<x2):x2 -X >0,(1)若在I的内部，恒有,f">0，则f'(5)>0,： f(x)>f(x). f(x)在I上单调增(2)若在I的内部，恒有 f'<0，则f()<0,证毕。: f(x2)<f(x). f(x)在I 上单调减思考（1）若将“f">0"改为“f"≥0”，会有什么结果？(2）若将“在I的内部恒有f'>0”改为“在的内部除去有限个点处f(x)=0之外，其余点处恒有f(x)>0"，会有什么结果？3/21
证 x1 、x2 I， 且 x1 x2 ， 在 [x1 , x2 ] 上应用拉氏中值定理，得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 (1) 若在I的内部， 恒有 f 0， 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f f (x)在I上单调增; (2) 若在I的内部， 恒有 f 0 , 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f f (x)在I 上单调减. 证毕. 思考 (1) 若将“f > 0”改为“f 0”，会有什么结果？ (2) 若将“在 I 的内部恒有f > 0”改为“在 I的内部除去有限 个点处 f(x)=0之外，其余点处恒有f(x)>0”，会有什么结果？ 3/21
二、单调性的判定步骤1．在f的定义域上求f的零点及f不存在的点；2.用f的零点及f不存在的点将f的定义区间划分为子区间；3.根据f'在各子区间内的符号及f在各子区间端点处的连续性确定f的单调性。二、三两步可借助于表格方式完成4.4/21
二、单调性的判定步骤 1. 在 f 的定义域上求 f 的零点及 f 不存在的点； 2. 用 f 的零点及 f 不存在的点将 f 的定义区间划 分为子区间； 3. 根据 f 在各子区间内的符号及 f 在各子区间端 点处的连续性确定 f 的单调性。 4. 二、三两步可借助于表格方式完成。 4/21
例1确定 f(x)=(x-1)./x2 白的单调区间解 D, =(-00,+0).25x-2的零点为D不存在的点为0。f'(x) =53.3/x将f'的符号与f的单调性列表如下02/5(0, 2/5)x(2/5, +o0)(-80, 0)0+f"+不存在f连续连续22上单调减；在：f在-8,0]上单调增；在[0,小,+8)55上单调增。5/21
例 1 ( ) ( 1 ) . 确 定 f x = x − 3 x2 的单调区间 的零点为 35 2 ( ) 3 x x f x − == (− ,+ ). D f 将 f的符号与 f 的单调性列表如下： x (-, 0) 0 (0, 2/5) 2/5 (2/5, +) f + 不存在 - 0 + f 连续 连续 上单调增。 在 上单调增；在 上单调减；在 , ) 52 ] [ 52 f (− , 0] [0, + 解 5/21 ， 不存在的点为0 。 52