第七节多元函数的极值及其求法、二元函数极值的概念二、条件极值拉格朗日乘数法
第七节 多元函数的极值 及其求法 一、二元函数极值的概念 二、条件极值 拉格朗日乘数法
一、二元函数极值的概念1.问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁80+6x一7y瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为f(x,y)=(x -1)(70 -5x + 4y)+ (y-1.2)(80 +6x -7y)求最大收益即为求二元函数的最大值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶 本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的 果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果 汁可取得最大收益？ x y 70 − 5x + 4y 80 + 6x − 7 y 每天的收益为 f (x, y) = (x −1)(70 − 5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7 y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、二元函数极值的概念 1.问题的提出
xy的图形观察二元函数Z =
观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放
2、二元函数极值的定义设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(xo,yo)的点(x,Jy)若满足不等式f(x,y)<f(xo,yo)，则称函数在（xo,y）有极大值；若满足不等式f(x,y)>f(xo,yo)，则称函数在(xo,yo)有极小值；极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点
设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有 极 小值； 2、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点
例1函数z=3x2+4y(1)在(0,0)处有极小值。例2 函数z=-x2+y(2)在(0,0)处有极大值。函数 z=xy例3(3)在(0,0)处无极值
(1) (2) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy