第模块函数、极限、连续82-8函数的连续性极限、连续第二模块函数、应用数学第五节函数的连续性一、连续函数的概念二、连续函数的基本性质三、闭区间上连续函数的性质四、函数间断点及其分类五、一元函数的连续性
第二模块 函数、极限、连续 第五节 函数的连续性 一、连续函数的概念 二、连续函数的基本性质 三、闭区间上连续函数的性质 四、函数间断点及其分类 五、二元函数的连续性
第二模块函数、极限、连续$2-8函数的连续性一、连续函数的概念应用数学定义1设函数y=f(x)在x的一个邻域内有定义，且lim f(x)= f(x.)x-→xo则称函数y=f（x）在xo处连续，或称xo为函数y一f(x）的连续点
一、连续函数的概念 定义 1 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内有 定义， lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 则称函数 y = f ( x ) 在 x0 处连续，或称 x0 为函数 y = f (x) 的连续点 . 且
第二模块函数、极限、连续82-8函数的连续性记△x=x-xo，且称之为自变量x的改变量或增应用数学量，记 y=f(x) -f (xo) 或 Ay=f (xo+ Axr) -f (xo)称为函数y=f(x)在x处的增量.那么函数=f(x)在x处连续也可以叙述为：定义 2 设函数 =f (x)在 xo的一个邻域内有定义，如果lim Ay = 0.Ax→0则称函数y=f(x）在xo处连续
记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增 量，记 y = f (x) - f (x0 ) 或 y = f (x0+ x) - f (x０) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量. 那么函数 y = f (x) 在 x0处连续也可以叙述为： 定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内 有定义， 如果 lim 0. 0 = → y x 则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续
第二模块函数、极限、连续32-8函数的连续性若函数y=f(x）在点xo处有：应用数学lim f(x)=f(xo) 或 lim f(x)=f(x.),x-→xo则分别称函数y=f(）在xo处是左连续或右连续由此可知，函数y=f(x）在xo处连续的充要条件可表示为：lim f(x)= f(xo) = lim f(x)x-→xoXxo即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左右连续
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有： lim ( ) ( 0 ) 或 lim ( ) ( 0 )， 0 0 f x f x f x f x x x x x = = → − → + 则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续. 由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要 条件可表示为： lim ( ) ( ) lim ( ). 0 0 f x f x0 f x x x x x → − → + = = 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、 右连续．
第二模块函数、极限、连续32-8函数的连续性若函数y=f(x）在开区间I内的各点处均连续应用数学则称该函数在开区间I内连续．若函数y=f(x）在闭区间［a,bl上连续，则理解为除在（a，b）内连续外，在左端点a为右连续，在右端点b为左连续定义1表明，函数在某点连续含有三层意思：它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值
若函数 y = f (x) 在开区间I 内的各点处均连续， 若函数 y = f (x) 在 闭区间 [a, b] 上连续，则理解为除在 (a, b) 内连 续外，在左端点 a 为右连续，在右端点 b 为左连续. 定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： 它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值. 则称该函数在开区间 I 内连续