第一章第八节函数的连续性间断点函数连续性的定义二、函数的间断点HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章
函数连续性的定义一定义：设函数 =f(x)在 x的某邻域内有定义，且lim f(x)= f(xo),则称函数 f(x)在xo连续x→>X0可见，函数f(x）在点xo连续必须具备下列条件(1)f(x)在点 xo 有定义，即f(xo） 存在;极限 lim f(x)存在;(2)x→Xolim f(x)= f(xo)x→>xoHIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数 f (x) 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义 , lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) f (x) 在点 0 x 即 ( ) 0 f x (2) 极限 lim ( ) 0 f x x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ;
若 f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数在闭区间「α，b]上的连续函数的集合记作E Cla,bl+例如，（有理整函数）P(x) = ao +ajx+...+anx"在（-8,+8)上连续P(x)又如，有理分式函数R(x)=Q(x)在其定义域内连续只要 Q()),都 )(P(R(xodontinuex→xo x-xHIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, n n P x = a + a x ++ a x 0 1 ( ) 在 (−,+ ) 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = 在其定义域内连续. 在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
对自变量的增量△x=x-xo，有函数的增量Ay= f(x)- f(xo)= f(xo +△x)-f(xo)函数 f(x)在点 x连续有下列等价命题lim f(xo +△x)= f(xo)lim f(x)= f(xo)Ar-0x→xoy y=f(x)lim Ay = 0Ay△x0f(xo ) = f(xo)= f(xo t)Ax左连续右连续x xXoV>0,38>0,当x-xo=x< 时,有f(x)-f(x)=Ay|<8HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量 , 0 x = x − x 有函数的增量 ( ) ( ) 0 y = f x − f x ( ) ( ) 0 0 = f x + x − f x y = f (x) O x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 0 f (x) 在点 x 连续有下列等价命题:
例. 证明函数y=sin x在(-o0, + oo)内连续证: Vx E(-00, +00)cos(x+△y= sin(x +△x)-sinx =2sin [4y|=2 sincos(x+)△x →0≤2-1=|4x0lim △y = 0即△x→0这说明月 y= sinx在(-0,+o)内连续同样可证：函数 =cos x在(-o0,+80)内连续HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例. 证明函数 y = sin x 在 (−, + ) 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2sin cos( ) 2 2 x x x = + 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + 2 1 2 x = x x → 0 即 lim 0 0 = → y x 这说明 y = sin x 在 (−, + ) 内连续 . 同样可证: 函数 y = cos x 在 (−, + ) 内连续 . 0