第四节函数的单调性与极值、函数的单调性二、函数的极值
第四节 函数的单调性与 极值 一、函数的单调性 二、函数的极值
一函数的单调性AyVBy=f(x)y= f(x)BAxbxab1af'(x)≥0f'(x)≤0
一、函数的单调性 x y o y f x = ( ) a b A B f x ( ) 0 x y o a b B A y f x = ( ) f x ( ) 0
定理设函数y= f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内f'(x)>0，则函数y= f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<O，则函数y= f(x)在[a,b]上单调减少
( ) [ , ] ( , ) . 设函数 y f x a b a b = 在 上连续，在 内 可导 (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] . a b f x y f x a b 如果在 内 = ，则函数 在 上单调减少 定理 1 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] a b f x y f x a b （）如果在 内 = ，则函数 在 上单调增加；
证 xi,x2 E (a,b),且 xi <x2,应用拉氏定理,得(xi<5<x2)f(x)-f(x)= f'()(x2 -x):x2-X>0,若在(a,b)内，f'(x)>0,则 f'()>0,: f(x2)>f(x) ： y=f(x)在[a,b]上单调增加若在(a,b)内,f'(x)<0,则 f'()<0,: f(x2)<f(x). : y=f(x)在[a,b]上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少
例1 讨论函数y=e＊-x-1的单调性解 ： y'= e*-1.又： D:(-00,+)2.52在(-80,0)内，'<0,1.50.5.函数单调减少；210.5在(0,+o)内，y'>0，：函数单调增加注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)