第三章导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节微分及其在近似计算中的应用
第三章 导数与微分 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用 第一节 导数的概念
第二节求导法则函数的和、差、积、商的求导法则一二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则四、初等函数的求导公式五、三个求导方法六、高阶导数
第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 四、初等函数的求导公式 三、反函数的求导法则 五、三个求导方法 六、高阶导数
第二节求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1设函数u=u（x）与v=（x）在点x处可导u（x）则函数u（x)±v（x)，u（x）v（x),（v（x）±0）也(x)在点x处可导，且有以下法则(1)[u (x)±v (x)}'=u' (x)+v' (x);(2)[u(x)v(x))'=u(x)v(x) +u(x)v'(x)特别地[Cu（x)}"=Cu（x）C为常数）；u(x)0(x)-u(x)0'(x)([](v(x) ± 0)U(x)特别地,当u（x)=C (C 为常数)时,有[.6]--8
定理 1 设函数 u = u（x） 与 v = v（x）在点 x处可导, 则函数u（x） v（x）, u（x）v（x）, （ （ ） ） （ ） （ ）v x 0 v x u x 也 在点 x处可导,且有以下法则: (1) [u（x） v（x）] = u（x）+ v（x）; (2) [u(x)v(x)] = u(x)v(x) + u(x)v(x), 特别地[Cu（x）] = Cu（x）(C 为常数); (3) （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） x u x x u x x x u x 2 − = (v(x) 0), 特别地,当u（x）= C (C 为常数)时,有 （ ） （ ） （ ） v x Cv x v x C 2 = − 第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、复合函数的求导法则定理2如果函数u=p(x）在点x处可导，而函数y=f(u）对应的点u处可导，那么复合函数y=f[o(x)也在点x处可导,且有_dydu或([(x)])=f'(u)0'(x) .dx.,dudx证当自变量x的改变量为△x时，对应的函数u=(x）与y=f(u）的改变量分别为Au和Aydyy由于函数y=f（u）可导，即lim存在，于是由无穷duAu-0Auydy1小与函数极限的关系，有+α(Au),1Audu其中α（△u）是△u→0时的无穷小，以△u乘以上式两边得dyAu+a(Au)AuAV=du
证 当自变量 x 的改变量为x时,对应的函数u x = ( )与 y = f (u)的改变量分别为 u和y． 由于函数 y = f (u)可 导,即 u y u y u d d lim 0 = → 存 在,于是由无穷 小与函数极限的关系,有 d ( ) d y y u u u = + , 其中( ) u 是u → 0时的无穷小,以 u乘以上式两边得 d ( ) d y y u u u u = + . 定理 2 如果函数u x = ( )在点 x 处可导,而函数 y = f (u) 对应的点 u 处可导,那么复合函数 y f x = [ ( )] 也在点 x 处可 导,且有 x u u y x y d d d d d d = 或 f x ( ) = f u x ( ) ( ) . 二、复合函数的求导法则
对于复合函数的分解比较熟悉后，就不必再写出中间变量，而可以采用下列例题的方式来计算，例7求函数y=lntan=的导数。解y'= (lntantan-tanCOSsectan= cScx.sinx
解 csc . sin 1 2 1 . 2 cos 1 . 2 sin 2 cos ) 2 sec ( 2 tan 1 2 tan 2 tan 1 ) 2 (ln tan 2 2 ' x x x x x x x x x x y = = = = = = 例 7 求函数 2 ln tan x y = 的导数． 对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间 变量,而可以采用下列例题的方式来计算．