案例五．交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。图2某地交通实况站前路纬六路高架桥车站街经路图3某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示，其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位：辆)
8 案例五. 交通网络流量分析问题 城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善 城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 图 2 某地交通实况 图 3 某城市单行线示意图 【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头 方向行驶的车流量(单位: 辆)
400500X1300X4X2X3100300200图4某城市单行线车流量(1）建立确定每条道路流量的线性方程组(2）为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？(3）当x4=350时，确定x1,x2,x3的值（4）若x4=200，则单行线应该如何改动才合理？【模型假设】（1）每条道路都是单行线(2）每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等【模型建立】根据图3和上述假设，在①，②，③，④四个路口进出车辆数目分别满足①500=x1+x2②400 + x1= x4 + 300?x2+x3=100+200④4=X3+300【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组=500[x, +x2-x4 =-100X=300X, +X3-x+x4=300其增广矩阵1100500(1 0 0 -1 -100)-1000101100-1600初等行变换(A, b) =03000110011-30030000000-11009
9 500 1 2 3 4 400 300 100 200 300 x1 x2 x3 x4 图 4 某城市单行线车流量 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当 x4 = 350 时, 确定 x1, x2, x3的值. (4) 若 x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理? 【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数 目相等. 【模型建立】 根据图 3 和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分 别满足 500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ② x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 1 2 1 4 2 3 3 4 500 100 300 300 x x x x x x x x 其增广矩阵 (A, b) = 1 1 0 0 500 1 0 0 1 100 0 1 1 0 300 0 0 1 1 300 初等行变换 1 0 0 1 100 0 1 0 1 600 0 0 1 1 300 0 0 0 0 0
由此可得x -x4 =-100X, +x =600[x,-x4=-300即x=x-100=-x4+600[X=X4-300为了唯一确定未知流量，只要增添x4统计的值即可当x4=350时，确定xl=250,x2=250,x3=50若x4=200，则xl=100,x2=400,x3=-100<0.这表明单行线“③<④”应该改为“③一④”才合理【模型分析】(1）由(A,b)的行最简形可见，上述方程组中的最后一个方程是多余的.这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计x, = x -100x =-x, + 500[x = x, + 200x2 =x, + 5003x2=-x+300,这(2）由=-+600可得=x-200，=-+300，x=x-300[× = X +100[x =-x2 +600x4=x,+300就是说x1,x2,x3,x4这四个未知量中，任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值参考文献陈怀琛，高淑萍，杨威，工程线性代数，北京：电子工业出版社，2007.页码16-17.实践题某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量：图中的数字表示该条路段的车流数.如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等10
10 由此可得 1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x 即 1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x . 为了唯一确定未知流量, 只要增添 x4统计的值即可. 当 x4 = 350 时, 确定 x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若 x4 = 200, 则 x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改 为“③④”才合理. 【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余 的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计. (2) 由 1 4 2 4 3 4 100 600 300 x x x x x x 可得 2 1 3 1 4 1 500 200 100 x x x x x x , 1 2 3 2 4 2 500 300 600 x x x x x x , 1 3 2 3 4 3 200 300 300 x x x x x x , 这 就是说 x1, x2, x3, x4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确 定出其他三个未知量的值. 参考文献 陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17. 实践题 某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小 时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开 的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等
2203001001++X1X2180300LX7xgX11X3X4500★K4350x8X10+X12X5X6150160↑★★150400290图5某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组(2)分析哪些流量数据是多余的(3)为了唯一确定未知流量，需要增添哪几条道路的流量统计11
11 300 500 150 180 350 160 220 300 100 150 400 290 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 图 5 某城市单行线车流量 (1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的. (3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计
案例六配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时，配方问题可以用向量和线性方程组来建模图6日常膳食搭配图7几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成.这种佐料现有两种规格，这两种规格的佐料中，四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2.现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料，问：第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成？【模型假设】（1）假设四种原料混合在一起时不发生化学变化.2）假设四种原料的比例是按重量计算的.（3）假设前两种规格的佐料分装成袋，比如说第一种规格的佐料每袋净重7克（其中A、B、C、D四种原料分别为2克,3克，1克，1克）第二种规格的佐料每袋净重6克（其中A、B、C、D四种原料分别为1克,2克，1克,2克)【模型建立】根据已知数据和上述假设，可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起，得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克，7克，3克，5克，则有以下线性方程组2x+y=4,3x+2y=7,x+y=3,[x+2y=5.【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵21410012327初等行变换(A, b) :0 01 1300012512
12 案例六. 配方问题 在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发 生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模. 图 6 日常膳食搭配 图 7 几种常见的作料 【模型准备】一种佐料由四种原料 A、B、C、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种 规格的佐料中, 四种原料的比例分别为 2:3:1:1 和 1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为 4:7:3:5 的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成? 【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按 重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重 7 克(其 中 A、B、C、D 四种原料分别为 2 克, 3 克, 1 克, 1 克), 第二种规格的佐料每袋净重 6 克(其中 A、B、C、D 四种原料分别为 1 克, 2 克, 1 克, 2 克). 【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将 x 袋第一种规格的佐料与 y 袋第 二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中 A、B、C、D 四种原料分别为 4 克, 7 克, 3 克, 5 克, 则有以下线性方程组 2 4, 3 2 7, 3, 2 5. x y x y x y x y 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵 (A, b) = 2 1 4 3 2 7 1 1 3 1 2 5 初等行变换 1 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0