晋中学院：《高等代数》课程教学资源（建模案例汇编）

可见/x=1,。又因为第一种规格的佐料每袋净重7克，第二种规格的佐料每袋净重6克，所以V=2第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成【模型分析】(1若令α1=(2,3,1,1)T,αz2=(1,2,1,1)T,β=(4,7,5,3)T，则原问题等价于线性方程组Ax=b是否有解”，也等价于“能否由αi,αn线性表示”(2）若四种原料的比例是按体积计算的，则还要考虑混合前后体积的关系（未必是简单的叠加）因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比，然后再按上述方法处理(3）上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用：如果直接设x克第一种规格的佐料与y克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料，则有下表表1混合后四种原料的含量原料ABcD佐料规格317V1第一种~16y-16第二种4(x+y)7E(x+y)E(x+y)第三种(x+y)19191919因而有如下线性方程组241-(x+y),x+1976327(x+y),Y196(*)3(x+y),19A6°-25(x+y)(+619【模型检验】把x=7,y=12代入上述方程组(*)，则各等式都成立.可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性实践题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养，但过量的脂肪摄入不利于健康人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪，设三种食物（脱脂牛奶、大豆面粉、乳清）每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量13

13 可见 1,2. x y   又因为第一种规格的佐料每袋净重 7 克, 第二种规格的佐料每袋净重 6 克, 所以 第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按 7:12 的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令1 = (2, 3, 1, 1)T , 2 = (1, 2, 1, 1)T ,  = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性 方程组 Ax = b 是否有解”, 也等价于“能否由1, 2线性表示”. (2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理. (3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的 佐料与 y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表 表 1 混合后四种原料的含量 原料 佐料规格 A B C D 第一种 2 7 x 3 7 x 1 7 x 1 7 x 第二种 1 6 y 2 6 y 1 6 y 2 6 y 第三种 4 19 (x + y) 7 19 (x + y) 3 19 (x + y) 5 19 (x + y) 因而有如下线性方程组 2 1 4 ( ), 7 6 19 3 2 7 ( ), 7 6 19 1 1 3 ( ), 7 6 19 1 2 5 ( ). 7 6 19 x y x y x y x y x y x y x y x y                  () 【模型检验】把 x = 7, y = 12 代入上述方程组(), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个 假设不影响解的正确性. 实践题 蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康. 人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每 100 克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑 5 分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量

如下表.表2三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况慢跑5分钟每100克食物所含营养(克)每日需要的营养牛奶大豆面粉乳清营养量（克）消耗量(克)33蛋白质365113105234742045碳水化合物脂肪7310115问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求？14

14 如下表. 表 2 三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况 营养 每 100 克食物所含营养(克) 慢跑 5 分钟 消耗量(克) 每日需要的 牛奶 大豆面粉 乳清 营养量(克) 蛋白质 36 51 13 10 33 碳水化合物 52 34 74 20 45 脂肪 10 7 1 15 3 问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?

案例七利用向量组的线性相关性求根式方程的解求/x2+x+1+/2x?++5=/×?=3x+13的实数解问题：分析：我们注意到x2+x+1,2x2+x+5，x2-3x+13满足(1)-7(x2 +x+1)+4(2x2 +x+5)= x2-3x+13由性质1可知x2+x+1,2x2+x+5，x2-3x+13线性相关，现在令：u=x2+x+1,V=/2x2+x+5,W=x2-3x+13，则有：(2)u+v=w由（1）可见即：-7u2 +4v? = w2(3)将（2）带入（3）得：-7u2+4v2=(u+v)，对该式化简并整理得：(4)(v-2u)(3v+ 4u)= 0又当x为实数时，x2+x+1与2x2+x+5也都是实数，且3v+4u>0,所以仅当v-2u=0时，（4）才成立，即：/x2+x+1=2/2x2+x+5，对该式两边平方并整理得：2x2+3x-1=0，解得：x=-3±VI7，经检验它是原方程的解.故得原方程的全部实数解为x=-3±V44本题将x2+x+1,2x2+x+5，x2-3x+13作为向量，有效利用它们之间的线性相关性，简化了解题步骤，避免了常规运算的繁琐性15

15 案例七 利用向量组的线性相关性求根式方程的解 问题： 求 1 2 5 3 13 2 2 2 x  x   x  x   x  x  的实数解. 分析：我们注意到 1 2 5 -3 13 2 2 2 x  x  ，x  x  ，x x  满足： - 7 1 42 5 3 13 2 2 2 x  x   x  x   x  x  （1） 由性质 1 可知 1 2 5 -3 13 2 2 2 x  x  ，x  x  ，x x  线性相关，现在令： u 1 v 2 5 w 3 13 2 2 2  x  x  ，  x  x  ，  x  x  ，则有： u  v  w （2） 由（1）可见 即： - 2 2 2 7u  4v  w （3） 将（2）带入（3）得：-   2 2 2 7u  4v  u  v ，对该式化简并整理得： v - 2u3v  4u  0 （4） 又当 x 为实数时， 1 2 5 2 2 x  x  与 x  x  也都是实数，且3v  4u >0,所以仅当 v - 2u  0时， （4）才成立，即： 1 2 2 5 2 2 x  x   x  x  ，对该式两边平方并整理得：2 3 1 0 2 x  x   ， 解得： 4  3 17 x  ，经检验它是原方程的解.故得原方程的全部实数解为 4  3 17 x  . 本题将 1 2 5 -3 13 2 2 2 x  x  ，x  x  ，x x  作为向量，有效利用它们之间的线性相关性，简化 了解题步骤，避免了常规运算的繁琐性

案例八利用向量组的线性相关性求不定积分Acosx+Bsinxdx（其中a?+b?+0）问题：求不定积分=acosx+bsinx分析：先考虑两种特殊情况：①当(A,B)=(a,b)时，显然原式I,=x+C,其中C为积分常数；②当(A,B)=(b,-a)时，易知原式I,=lnlacosx+bsinx+C,,其中C,为积分常数以下考虑一般情况，此时则可利用向量组的线性相关性和以上两种特殊情况计算出原积分：注意到α2+b2+0，所以线性无关，从而由性质2、3可设：利用克拉默法则解该方程组得：aA+bBbA-aBk, :a? +b?a2+b?Acos.xBsinxAcos x+BsinXdxdx +由于dacosx+bsinxcosx+bsinxosx+bsinx若令COSXsinxf(x)=g(x)=，acosx+bsinxacosx+bsinx则:[(af(x)+ bg(x)dx= I,, [(bf(x)-ag(x)dx= 1, ,从而有1=[(Ar()+ Bg()ix=J((),g()(=J(a)g()(a bYk=J(gf(s)+bg(),br()-ag(x)(k= k, [ (af(x)+ bg(x)dx +k (bf (x)- ag(x)d)= k/, +k,l2利用向量组的线性相关性使该不定积分的计算变得简单、直观，更易于学生接受16

16 案例八 利用向量组的线性相关性求不定积分 问题： 求不定积分 x a x b x A x B x I d cos sin cos sin     （其中 0 2 2 a  b  ） 分析：先考虑两种特殊情况：  当A, B  a,b时，显然原式 I 1  x C1 ,其中C1为积分常数；  当A, B  b,a时，易知原式 ln cos sin , . I 2  a x  b x C2 其中C2为积分常数 以下考虑一般情况，此时则可利用向量组的线性相关性和以上两种特殊情况计算出原积分： 注意到 0 2 2 a  b  ，所以             a b b a 和 线性无关，从而由性质 2、3 可设：                   a b k b a k B A 1 2 ，即：                    2 1 k k b a a b B A ， 利用克拉默法则解该方程组得： 1 2 2 2 2 2 , a b bA aB k a b aA bB k       . 由于 x a x b x A x B x I d cos sin cos sin     = x a x b x A x d cos sin cos   + x a x b x B x d cos sin sin   若令   a x b x x f x cos sin cos   ，   a x b x x g x cos sin sin   ， 则：      1 af x  bg x dx  I  ，      2 bf x  ag x dx  I  ， 从而有          x B A I Af x Bg x dx ( f x , g x ) d               x k k b a a b ( f x , g x ) d 2 1                        x k k (af x bg x ,bf x ag x ) d 2 1           k (af x bgx)dx k (bf x agx)dx 1  2      1 1 2 2  k I  k I 利用向量组的线性相关性使该不定积分的计算变得简单、直观，更易于学生接受

案例九．投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时.W.Leontief提出了投入产出模型，这为经济学研究提供了强有力的手段.W.Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖图8三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形【模型准备】某地有一座煤矿，一个发电厂和一条铁路，经成本核算，每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电：为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费：每生产1元的电需0.6元的煤作燃料：为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电，还需要花费0.1元的运费作为铁路局，每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤，辅助设备要消耗0.1元的电，现煤矿接到外地6万元煤的订货，电厂有10万元电的外地需求，问：煤矿和电厂各生产多少才能满足需求？【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素【模型建立】设煤矿，电厂，铁路分别产出x元，元，z元刚好满足需求，则有下表表3消耗与产出情况产出(1元)订单产出消耗煤运电煤00.60.5600000.6y+0.5zx消电0.30.10.10.3x + 0.1y + 0.1z1000001H0.20.1000.2x +0.1y运2根据需求，应该有x-(0.6y+0.5z)=60000y-(0.3x+0.1y+0.1z)=100000,z-(0.2x+0.1y)= 0即17

17 案例九. 投入产出问题 在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief 提出了投入产出模型. 这为经济 学研究提供了强有力的手段. W. Leontief 因此获得了 1973 年的 Nobel 经济学奖. 图 8 三个经济部门 这里暂时只讨论一个简单的情形. 【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值 1 元钱的煤 需消耗 0.3 元的电; 为了把这 1 元钱的煤运出去需花费 0.2 元的运费; 每生产 1 元的电需 0.6 元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身 0.1 元的电, 还需要花费 0.1 元的运费; 作为铁路局, 每提供 1 元运费的运输需消耗 0.5 元的煤, 辅助设备要消耗 0.1 元的电. 现煤矿 接到外地 6 万元煤的订货, 电厂有 10 万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满 足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素. 【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出 x 元, y 元, z 元刚好满足需求. 则有下表 表 3 消耗与产出情况 产出(1 元) 产出 消耗 订单 煤 电 运 消 耗 煤 0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z 60000 电 0.3 0.1 0.1 y 0.3x + 0.1y + 0.1z 100000 运 0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y 0 根据需求, 应该有 (0.6 0.5 ) 60000 (0.3 0.1 0.1 ) 100000 (0.2 0.1 ) 0 x y z y x y z z x y               , 即