案例二Euler的四面体问题问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的解建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a,br,C），（aa,bz,c）和（aa,ba,C），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为l,m,n,p,9,r.由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量OA,OB,Oc1组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V。的一.而6abcV =(oAxOB),OC =a2 b, c2abscab,c于是得6V =a2b2C将上式平方，得[a,b,C3bc[abc]Jar36V2=a2b2cab,C2a2b,C3ab,ca3α? +b? +cajaz +bb, + cc2ajas + b,b, + cic3a? +b3 +c?=a,az +bb, +c,c,a,ay+b,b,+c2csa?+b+caa+bb,+ccaza+b,b,+cc根据向量的数量积的坐标表示，有OA.OA=ai+b2+c,OA.OB=aa2+bb,+CiC2,OA.OC=a,a,+bb,+cC,OB.OB=a +b3+c?OB.o=aza+bb,+cc,Oc.oC=a+b3+c于是3
3 案例二 Euler 的四面体问题 问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由 Euler（欧 拉）提出的. 解 建 立 如 图 2.1 所 示 坐 标 系 ， 设 A ， B ， C 三 点 的 坐 标 分 别 为 （a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并设四面体 O-ABC 的六条棱长分别 为l,m,n, p,q,r.由立体几何知道，该四面体的体积 V 等于以向量 OA,OB,OC 组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积 V6的 1 6 .而 . 3 3 3 2 2 2 1 1 1 6 a b c a b c a b c V OAOB OC 于是得 6 . 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c a b c a b c V 将上式平方，得 . 36 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 2 a a b b c c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c V 根据向量的数量积的坐标表示，有 , . , , ,2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 OB OC a a b b c c OC OC a b c OA OC a a b b c c OB OB a b c OA OA a b c OA OB a a b b c c 于是
OA.OAOA.OBOA.OCOA.OBOB.OBOB.OC36V2=(2.1)OA.OCOB.OCoc.oc由余弦定理，可行OA.OB=p-q.coso=P+q'-n同理2q+r?_OA.OC= P*+r?-m?OB.OC=22将以上各式代入（2.1）式，得p?+r?-m?p?+q?-n?p22p'+r-1?p"+q?-n?p236V2(2.2)22p°+r?_p?p?+r?-m?r222这就是Euler的四面体体积公式应用：一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为1=10m,nF15m,IF=12m,p=14m,q=13m,r=11m.则p2 +r2 -m2 = 46,p2 +r2 -12 = 95.p2+q2-n22=110.5,222代入（2.1）式，得196110.546110.51699536V2==1369829.75.4612195于是V2~38050.82639~(195m)2即花岗岩巨石的体积约为195m。古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积。4
4 36 . 2 OA OC OB OC OC OC OA OB OB OB OB OC OA OA OA OB OA OC V （2.1） 由余弦定理，可行 . 2 cos 2 2 2 p q n OA OB p q 同理 . 2 , 2 2 2 2 2 2 2 q r l OB OC p r m OA OC 将以上各式代入（2.1）式，得 . 2 2 2 2 2 2 36 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r p r m p r l p r l p p q n p q n p r m p V （2.2） 这就是 Euler 的四面体体积公式. 应用 ：一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为 l=10m, m=15m, n=12m, p=14m, q=13m, r=11m. 则 95. 2 2 2 2 46, 2 2 2 2 110.5, 2 2 2 2 p q n p r m p r l 代入（2.1）式，得 1369829.75. 46 95 121 110.5 169 95 196 110.5 46 36V 2 于是 2 38050.82639 (195 ) . 3 2 V m 即花岗岩巨石的体积约为 195m 3。古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测 量其六条棱长去计算金字塔的体积
案例三赢得矩阵田忌和齐王赛马的故事，学生在语文课本中都学过，最后田忌以两胜一负赢得这场比赛．双方约定出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛马3次.已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券．齐王及田忌在排列赛马出场顺序时，各取下列6种策略（方案）之一：（上，中，下）（上，下，中）、（中，上，下）、(中，下，上)、(下，中，上)、(下，上，中)每一场比赛中齐王赢加一分，齐王输减一分，共比赛三场．若将这6种策略依次从1到6编号，则可写出齐王的赢得矩阵：(3 1111-1-13111-1131A=11131-1-111131(1-11113)其中，行代表齐王策略，列代表田忌策略．比如，αi6=-1，说明齐王采用策略6，即下、上、中顺序出马，而田总采用策略1，即上、中、下顺序出马.这样我们从这个赢得矩阵里就很清晰地看出双方马的出场顺序和比赛结果，实践题：逻辑判断问题甲、乙、内、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书，经三次交换后，他们四人读完了这四本书，现已知：（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书：（2）内读的第一本书是丁读的最后一本书。问四人的阅读顺序是怎样的？（提示：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D则根据题设条甲乙丙丁件可以列出初始矩阵D1B234(ABCD号）。然后来分析矩阵中各位置的书名代5
5 案例三 赢得矩阵 田忌和齐王赛马的故事，学生在语文课本中都学过，最后田忌以两胜一负赢 得这场比赛．双方约定出上、中、下 3 个等级的马各一匹进行比赛，这样共赛 马 3 次．已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券．齐王及田忌在排列 赛马出场顺序时，各取下列 6 种策略（方案）之一： (上，中，下)、(上，下，中)、(中，上，下)、 (中，下，上)、(下，中，上)、(下，上，中) 每一场比赛中齐王赢加一分，齐王输减一分，共比赛三场．若将这 6 种策略依 次从 1 到 6 编号，则可写出齐王的赢得矩阵： 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 A 其中，行代表齐王策略，列代表田忌策略．比如， 1 a16 ，说明齐王采用 策略 6，即下、上、中顺序出马，而田忌采用策略 1，即上、中、下顺序出马．这 样我们从这个赢得矩阵里就很清晰地看出双方马的出场顺序和比赛结果． 实践题：逻辑判断问题 甲、乙、丙、丁四人各从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换， 这四本书的厚度以及他们四人的阅读速度差不多，因此，四人总是同时交换书， 经 三 次 交 换 后 ， 他 们 四 人 读 完 了 这 四 本 书 ， 现 已 知 ： （1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书； （2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。 问四人的阅读顺序是怎样的？ （提示：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为 A,B,C,D,则根据题设条 件可以列出初始矩阵 然后来分析矩阵中各位置的书名代 号）。 1 2 3 4 甲 乙 丙 丁 D B A B C D
案例四矩阵的乘积在有向图问题的应用如图1是有四个顶点八条弧的有向图，它可表示某航空公司可在四个城市间的运行图，这里顶点看做城市，城市i到有航班，则i到有一条弧，否则就没有弧，它也可以表示某物资在四个城市的转移路线图。C图 1原理：建立一个nxn矩阵A=（a,），如果i到j有一条弧，则a=l；否则，a,=0。它反映了图中顶点之间的相邻关系，称其为（顶点）邻接矩阵，则图1的邻接矩阵bcdaUdo11o问题：设某航空公司在四个城市间的航行运行图如图1，若某记者从城市d出发有几条经三次航行到达城市c的路线；有几条经4次航行回到城市d的路线？分析：考察图1的邻接矩阵的幂A=(a)：其中α)的值表示从城市i到j经过两次航行到达j的线路数，若记A*=(a），则a)的值表示从城市i到j经过两次航行到达的线路数。通过计算可得：(6253)201331江533A26601336253于是从城市d出发经三次航行到达城市c的路线数α=3条，具体为6
6 案例四 矩阵的乘积在有向图问题的应用 如图 1 是有四个顶点八条弧的有向图，它可表示某航空公司可在四个城市间 的运行图，这里顶点看做城市，城市i 到 j 有航班，则i 到 j 有一条弧，否则就没 有弧，它也可以表示某物资在四个城市之间的转移路线图。 原理：建立一个n n矩阵 ij n n A a ( ) ，如果i 到 j 有一条弧，则 ij a =1；否则， ij a =0。 它反映了图中顶点之间的相邻关系，称其为（顶点）邻接矩阵，则图 1 的邻接矩 阵 a b c d 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 d c b a A 问题：设某航空公司在四个城市间的航行运行图如图 1，若某记者从城市d 出发， 有几条经三次航行到达城市c 的路线；有几条经 4 次航行回到城市d 的路线？ 分析：考察图 1 的邻接矩阵的幂 ( ) 2 2 ij A a ：其中 2 ij a 的值表示从城市i 到 j 经过 两次航行到达 j 的线路数，若记 ( ) k ij k A a ，则 k ij a 的值表示从城市i 到 j 经过两 次航行到达 j 的线路数。通过计算可得： 6 2 5 3 2 6 6 2 5 3 5 3 6 2 5 3 1 3 3 1 4 0 2 2 2 2 3 1 1 3 3 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 1 1 2 0 1 1 2 3 4 A ，A ，A 于是从城市d 出发经三次航行到达城市c 的路线数 3 43 a =3 条，具体为： 图 1 a b c d
d→c→d→c,d→b→a→c,d→c→a→c,而从d出发经4次航行回到城市d的路线数α4)=3，具体为：d→c→d→c→d,d→b→a→c→d;d→c→a→c→d实践题1有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠中，有80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有60%在下次实验中走向右边。（1）试求其转移矩阵：（2）如果在第一次实验中有50%的老鼠走向右边，试求在第三次实验，有多少老鼠走向右边？假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一2[0.80.20.2门市还车，如果P=0.1 0.70.3其中P,表示从j门市租的车在i门市还的概率，，[0.1 0.1 0.5]则P12=0.2表示的是多少？7
7 d c d c;d b a c;d c a c; 而从d 出发经 4 次航行回到城市d 的路线数 4 44 a =3，具体为： d c d c d;d b a c d;d c a c d. 实践题 1 有一个心理学家做了如下的老鼠实验：于前次的实验中，走向右边的老鼠 中，有 80%在下次实验中仍走向右边；走向右边的老鼠中，有 60%在下次实验 中走向右边。（1）试求其转移矩阵；（2）如果在第一次实验中有 50%的老鼠走 向右边，试求在第三次实验，有多少老鼠走向右边？ 2 假设有一家租车公司有三个门市，顾客可以从其中任一门市租车而在任一 门市还车，如果 P= 0.8 0.2 0.2 0.1 0.7 0.3 0.1 0.1 0.5 ，其中 Pij 表示从 j 门市租的车在 i 门市还的概率， 则 P12=0.2 表示的是多少？